Exercice 1 : (6 pts)
1. Déterminer une primitive F de la fonction $f(x)=x^3-3x^2+2x-1$.
2. Déterminer la primitive G de la fonction $g(x)=\frac{1}{x^2}-e^x$ telle que $G(1)=2$.
3. Déterminer une primitive H de la fonction $h(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.
4. Calculer $\int_0^1 (x+1)e^{x^2+2x} dx$.
5. Calculer $\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$.
Exercice 2 : (6 pts)
Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant x centaines de jouets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l'intervalle [0,1 ; 10] par $B(x)=10 \times \frac{1+\ln x}{x}$. Si $B(x) \ge 0$, il s'agit d'un bénéfice, sinon il s'agit d'une perte.
1. a) Montrer que la dérivée de B vérifie : $B'(x)=\frac{-10 \ln x}{x^2}$.
b) Étudier le signe de $B'(x)$ puis en déduire le tableau de variation de B.
2. Démontrer qu'une primitive de la fonction B sur l'intervalle [0,1 ; 10] est la fonction F définie sur [0,1 ; 10] par $F(x)=5(\ln x)(\ln x+2)$.
Exercice 3 : (8 pts)
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$.
1. a) Calculer la dérivée de $f$, puis étudier son signe.
b) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
c) Dresser le tableau de variation de $f$.
2. a) Résoudre l’équation $f(x)=0$.
b) Calculer une primitive F de $f$ sur $\mathbb{R}$.
c) Calculer l’aire A comprise entre la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses, la droite $x=-1$ et la droite $x=0$.
