D.S : Loi géométrique et fonction logarithme

1. Épreuve de Bernoulli : Le joueur lance un dé à 6 faces. Succès S : 'le joueur fait 6'. $p=p(S)=\frac{1}{6}$. On répète cette épreuve de façon identique et indépendante. Soit X la variable aléatoire associée au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le 1er succès. $\textcolor{red}{\text{X suit une loi géométrique de paramètre } \frac{1}{6}}$.

2. $p(X=3) = p \times (1-p)^2 = \frac{1}{6} \times (1-\frac{1}{6})^2 = \frac{25}{216} \approx \textcolor{red}{0,116}$.

3. $p(X \le 5) \approx \textcolor{red}{0,598}$ (Résultat obtenu à la calculatrice).

4. $P_{X>2}(X=6) = p(X=4) = \frac{1}{6} \times (1-\frac{1}{6})^3 = \frac{125}{1296} \approx \textcolor{red}{0,096}$.

5. $E(X) = \frac{1}{p} = \textcolor{red}{6}$. Donc, en moyenne, il faut 6 lancers pour faire sortir son cheval.

• $e^{3x-4}=1$. Domaine d'existence $\mathbb{R}$. $e^{3x-4}=e^0 \iff 3x-4=0 \iff x=4/3$. $\textcolor{red}{S=\{\frac{4}{3}\}}$.

• $\ln(2x-5)=1$. Domaine d'existence: $2x-5>0 \iff x>5/2$. $D=]5/2;+\infty[$. $\ln(2x-5)=\ln(e) \iff 2x-5=e \iff x=(e+5)/2 \in D$. $\textcolor{red}{S=\{\frac{e+5}{2}\}}$.

• $\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln(x+1)$. Domaine d'existence: $x+2>0, x-1>0, x+1>0 \implies x>1$. $D=]1;+\infty[$. $\ln[(x+2)(x-1)]=\ln(x+1) \iff (x+2)(x-1)=x+1 \iff x^2+x-2=x+1 \iff x^2-3=0 \iff x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3} \notin D$. $\textcolor{red}{S=\{\sqrt{3}\}}$.

• $\ln(x^2)=\ln(x)-1$. Domaine d'existence: $x^2>0, x>0 \implies x>0$. $D=]0;+\infty[$. $\ln(x^2)=\ln(x)-\ln(e)=\ln(x/e) \iff x^2=x/e \iff x(x-1/e)=0 \iff x=0 \notin D$ ou $x=1/e \in D$. $\textcolor{red}{S=\{\frac{1}{e}\}}$.

1) $\ln x$ existe si $x>0$. Donc $\textcolor{red}{Df=]0;+\infty[}$.

2) $f'(x)=\textcolor{red}{1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}}$.

3) $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ donc $\lim_{x \to 0^+} f(x)=\textcolor{red}{+\infty}$.
En $+\infty$: $f(x)=x-2-\ln x = x(1-\frac{2}{x}-\frac{\ln x}{x})$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0$ donc $\lim_{x \to +\infty} f(x)=\textcolor{red}{+\infty}$.

4) Signe de $f'(x) = \frac{x-1}{x}$.

Tableau de variation:

5) a) $f$ est continue sur $]0;1]$. $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$. 0 est compris entre $\lim_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$ et $f(1)=-1$. Donc l'équation $f(x)=0$ a une $\textcolor{red}{\text{solution unique } \alpha \in ]0;1[}$.
b) A la calculatrice, on obtient: $\textcolor{red}{\alpha \approx 0,16}$.