Exercice 1 : (4 pts)
Soit $f$ la fonction définie sur ℝ par $f(x) = \begin{cases} -2x+1 & \text{si } x < 1 \\ x^2+x-2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
1) Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1;2]$ dans un repère.
2) La fonction $f$ est-elle continue sur l’intervalle $[-1;2]$ ? Pourquoi ?
Exercice 2 : (16 pts)
Soit $f$ la fonction réelle définie par $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+x-2}$ on appelle (C$f$) sa courbe représentative.
1) Donner le domaine de définition Df de f.
2) Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition et donner les équations des asymptotes éventuelles à la courbe (C$f$).
3) a) Montrer que : $f'(x) = \frac{x^2-6x-1}{(x^2+x-2)^2}$
b) Étudier le signe de f ’, puis dresser son tableau de variation complet.
4) a) Montrer que l'équation $f(x)=2$ a une solution unique α dans l’intervalle $]-\infty;-2[$.
b) Avec la calculatrice, donner une valeur approchée de α à $10^{-2}$ près.
