D.S : Fonctions limites et variations

$\frac{x^2+1}{x-1} = \frac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x(1-\frac{1}{x})} = x \frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$.
$\lim_{x \to +\infty} (1+\frac{1}{x^2})=1$ et $\lim_{x \to +\infty} (1-\frac{1}{x})=1$. D'où $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x-1} = \textcolor{red}{+\infty}$.

$\frac{-3x^2-2x+5}{2x^2-1} = \frac{x^2(-3-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2})}{x^2(2-\frac{1}{x^2})} = \frac{-3-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{2-\frac{1}{x^2}}$.
$\lim_{x \to -\infty} (-3-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2})=-3$ et $\lim_{x \to -\infty} (2-\frac{1}{x^2})=2$. D'où $\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^2-2x+5}{2x^2-1} = \textcolor{red}{-\frac{3}{2}}$.

$x^2-3x+2$ a 2 racines $x_1=1$ et $x_2=2$. Signe de $x^2-3x+2$: (a=1>0) est négatif entre les racines.
$\lim_{x \to 1^+} (x^2-3x+2)=0^-$ et $\lim_{x \to 1^+} (4x+1)=5$ donc $\lim_{x \to 1^+} \frac{4x+1}{x^2-3x+2} = \textcolor{red}{-\infty}$.

$\lim_{x \to 2^-} (x^2-3x+2)=0^-$ et $\lim_{x \to 2^-} (4x+1)=9$ donc $\lim_{x \to 2^-} \frac{4x+1}{x^2-3x+2} = \textcolor{red}{-\infty}$.

$\forall x>0, -1 \le \sin(2x) \le 1$ donc $-\frac{1}{x^2} \le \frac{\sin(2x)}{x^2} \le \frac{1}{x^2}$. Or $\lim_{x \to +\infty} (-\frac{1}{x^2})=\lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{x^2})=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(2x)}{x^2} = \textcolor{red}{0}$.

1) $f(x)$ existe si $4-2x \ne 0$ soit $x \ne 2$. $\textcolor{red}{D_f=]-\infty;2[ \cup ]2;+\infty[}$.

2) $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{-2x} = -\frac{1}{2}$. Donc (C) a une asymptote d'équation $\textcolor{red}{y=-\frac{1}{2}}$ en $\pm\infty$.
Signe de $4-2x$: positif pour $x<2$, négatif pour $x>2$.
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{2}{0^+} = \textcolor{red}{+\infty}$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{2}{0^-} = \textcolor{red}{-\infty}$. Donc (C) a une asymptote d'équation $\textcolor{red}{x=2}$.

3) Dérivée de f: On pose $u(x)=x$ et $v(x)=4-2x$. Alors $u'(x)=1, v'(x)=-2$.
$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} = \frac{1(4-2x)-x(-2)}{(4-2x)^2}=\frac{4-2x+2x}{(4-2x)^2}=\frac{4}{(4-2x)^2}$.
Signe de $f'(x)$: $\forall x \in D_f, (4-2x)^2>0$ donc $f'(x)>0$. Donc f est strictement croissante sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$.
Tableau de variation de f: