D.S : Suites arithmético-géométriques

1) a) $C_1 = (1-\frac{8}{100}) \times 300 + 50 = \textcolor{red}{326}$.
$0,92 = 1 - \frac{8}{100}$ (perte de 8% chaque année)
+50 nouvelles colonies chaque année.
D'où $C_{n+1} = 0,92 C_n + 50$.

b) $\forall n \in \mathbb{N}, v_n = C_n - 625$.
$v_0 = C_0 - 625 = 300 - 625 = -325$.
$v_1 = C_1 - 625 = 326 - 625 = -299$.
On pose $q = \frac{v_1}{v_0} = \frac{-299}{-325}=0,92$.
$\forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1}-qv_n = C_{n+1}-625 - 0,92(C_n-625) = 0,92C_n+50-625-0,92C_n+575=0$.
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique avec $v_0=\textcolor{red}{-325}$ et $q=\textcolor{red}{0,92}$.

c) $\forall n \in \mathbb{N}, v_n = v_0 \times q^n = -325 \times 0,92^n$.
$\forall n \in \mathbb{N}, C_n = v_n + 625$ d'où $C_n = \textcolor{red}{-325 \times 0,92^n + 625}$.

d) 2030 = 2024+6 et $C_6 = -325 \times 0,92^6 + 625 \approx 428$.
Il peut espérer avoir 428 colonies en 2030.

2) $300 \times 2 = 600$. A la calculatrice, $C_{30} \approx 598,4$ et $C_{31} \approx 600,5$.
2024 + 31 = 2055. Il atteindra donc son objectif en 2055.

On cherche l tel que $l=-2l-\frac{2}{3} \implies 3l = -\frac{2}{3}$ donc $l=\textcolor{red}{-\frac{2}{9}}$.
On pose $v_n = u_n - l = u_n + \frac{2}{9}$. On montre que $(v_n)$ est une suite géométrique.
$v_0 = u_0 + \frac{2}{9} = -2+\frac{2}{9}=-\frac{16}{9}$.
$v_1=u_1+\frac{2}{9}=-2u_0-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=-2(-2)-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=\frac{32}{9}$.
On pose $q=\frac{v_1}{v_0}=\frac{32/9}{-16/9}=-2$.
$\forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1}-qv_n = u_{n+1}+\frac{2}{9}-(-2)(u_n+\frac{2}{9}) = -2u_n-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+2u_n+\frac{4}{9}=0$.
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\textcolor{red}{-2}$ et de 1er terme $v_0=\textcolor{red}{-\frac{16}{9}}$.
Donc $\forall n \in \mathbb{N}, v_n = v_0 \times q^n = -\frac{16}{9} \times (-2)^n$.
On en déduit $u_n = v_n - \frac{2}{9} = \textcolor{red}{-\frac{16}{9} \times (-2)^n - \frac{2}{9}}$.