D.S : Suites et limites

1) $\lim_{n \to +\infty} (-2n^2) = -\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = \textcolor{red}{-\infty}$.

2) $\lim_{n \to +\infty} (5n^2+n+1) = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} (4n^2-1) = +\infty$ donc F.I.
$v_n = \frac{n^2(5+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(4-\frac{1}{n^2})} = \frac{5+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{4-\frac{1}{n^2}}$.
$\lim_{n \to +\infty} (5+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})=5$ et $\lim_{n \to +\infty} (4-\frac{1}{n^2})=4$ donc $\lim_{n \to +\infty} v_n = \textcolor{red}{\frac{5}{4}}$.

3) $\lim_{n \to +\infty} n^3=+\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} (-n)=-\infty$ donc F.I.
$w_n = n^3(1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})$. $\lim_{n \to +\infty} (1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})=1$ donc $\lim_{n \to +\infty} w_n = \textcolor{red}{+\infty}$.

4) $-1 \le (-1)^n \le 1 \iff -1 \times \frac{2}{n^2} \le \frac{2(-1)^n}{n^2} \le 1 \times \frac{2}{n^2} \iff -\frac{2}{n^2} \le t_n \le \frac{2}{n^2}$.
$\lim_{n \to +\infty} (-\frac{2}{n^2}) = \lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{n^2}) = 0$ donc $\lim_{n \to +\infty} t_n = \textcolor{red}{0}$.

1) $\forall n, p \in \mathbb{N}, u_n = u_p \times q^{n-p} \implies u_5=u_3 \times q^{5-3} \implies \frac{1}{5}=5 \times q^2 \implies q^2=\frac{1}{25}$ donc $q=\textcolor{red}{\frac{1}{5}}$.
$u_3 = u_0 \times q^{3-0} \implies 5 = u_0 \times (\frac{1}{5})^3$ donc $u_0 = 5 \times 5^3 = 5^4 = \textcolor{red}{625}$.

2) $u_n=u_0 \times q^n = \textcolor{red}{625 \times (\frac{1}{5})^n}$.

3) Avec la calculatrice, on obtient $\lim_{n \to +\infty} u_n = \textcolor{red}{0}$.

1) $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison r=-3 et de 1er terme $u_0=-1$.
$\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0+nr = \textcolor{red}{-1-3n}$.

2) $u_{50} = -1-3 \times 50 = \textcolor{red}{-151}$.

3) $\lim_{n \to +\infty} (-3n) = -\infty$ donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = \textcolor{red}{-\infty}$.