Exercices Maths 5e - Calcul d'Aires (Triangle, Losange, Disque)

Exercice 1 : Aire d'une surface (Demi-disques)

On a représenté un demi-disque de diamètre $[AB]$ tel que $AB = 6$ cm et 2 demi-disques identiques de diamètres respectifs $[OA]$ et $[OB]$, O étant le milieu de $[AB]$.

Calculer l'aire de la surface colorée en jaune (la partie supérieure).

Corrigé de l'Exercice 1

Analyse :

L'aire de la surface jaune est égale à l'aire du grand demi-disque de diamètre $[AB]$ moins les aires des two petits demi-disques de diamètres $[OA]$ et $[OB]$.

Calculs :

Grand demi-disque (diamètre [AB]) :
- Diamètre $AB = 6$ cm
- Rayon $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ cm.
- Aire = $\dfrac{1}{2} \times \pi \times R^2 = \dfrac{1}{2} \times \pi \times 3^2 = \dfrac{1}{2} \times 9\pi = 4,5\pi$ cm².
Petits demi-disques (diamètres [OA] et [OB]) :
- $O$ est le milieu de $[AB]$, donc $OA = OB = \dfrac{6}{2} = 3$ cm.
- Le diamètre de chaque petit demi-disque est de 3 cm.
- Rayon $r = \dfrac{OA}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5$ cm.
- Aire d'un petit demi-disque = $\dfrac{1}{2} \times \pi \times r^2 = \dfrac{1}{2} \times \pi \times 1,5^2 = \dfrac{1}{2} \times 2,25\pi = 1,125\pi$ cm².
Aire des deux petits demi-disques (partie rose) :
- Aire totale rose = $2 \times 1,125\pi = 2,25\pi$ cm².
Aire de la surface jaune :
- Aire Jaune = Aire Grand demi-disque - Aire totale rose
- Aire Jaune = $4,5\pi - 2,25\pi = 2,25\pi$ cm².

L'aire de la surface colorée en jaune est $2,25\pi$ cm² (soit environ $7,07$ cm²).

Exercice 2 : Aire d'un parallélogramme

On considère le rectangle BCEF ci-dessous tel que $BC = 5$ cm et $BF = 8$ cm. Les points A et D sont sur les côtés $[BF]$ et $[CE]$ respectivement.

Sachant que $AB = 3$ cm et que les droites (AE) et (BD) sont parallèles, calculer l'aire de la surface rose (le parallélogramme ABDE) de 2 façons différentes.

Corrigé de l'Exercice 2

Puisque $(BF)$ est parallèle à $(CE)$ (côtés opposés du rectangle) et que $(AE)$ est parallèle à $(BD)$ (donné), le quadrilatère ABDE est un parallélogramme.

Méthode 1 : Formule de l'aire du parallélogramme

L'aire d'un parallélogramme est donnée par la formule : $\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur}$.

On choisit la base $[AB]$. La longueur $AB = 3$ cm.
La hauteur correspondante est la distance perpendiculaire entre les bases $[AB]$ et $[DE]$. C'est la hauteur du rectangle, $BC$.
Hauteur $h = BC = 5$ cm.
Aire(ABDE) = $AB \times BC = 3 \times 5 = 15$ cm².

Méthode 2 : Soustraction des aires des triangles

L'aire du parallélogramme rose est égale à l'aire du rectangle BCEF moins les aires des two triangles blancs (BCD et AFE).

Aire du rectangle (BCEF) :
- $\text{Aire} = \text{Longueur} \times \text{Largeur} = BF \times BC = 8 \times 5 = 40$ cm².
Dimensions des triangles :
- Puisque ABDE est un parallélogramme, $AB = DE = 3$ cm.
- $AF = BF - AB = 8 - 3 = 5$ cm.
- $CD = CE - DE = 8 - 3 = 5$ cm.
Aire des triangles blancs :
- Triangle BCD (rectangle en C) : $\text{Aire} = \dfrac{1}{2} \times CD \times BC = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12,5$ cm².
- Triangle AFE (rectangle en F) : $\text{Aire} = \dfrac{1}{2} \times AF \times FE = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12,5$ cm². (car $FE = BC = 5$ cm)
Aire de la surface rose :
- Aire(ABDE) = Aire(BCEF) - (Aire(BCD) + Aire(AFE))
- Aire(ABDE) = $40 - (12,5 + 12,5) = 40 - 25 = 15$ cm².

Les deux méthodes donnent le même résultat : l'aire de la surface rose est 15 cm².

Exercice 3 : Le Losange (Construction et Aire)

Construire un losange dont les diagonales mesurent 8 cm et 7 cm.
Calculer l'aire de ce losange.

Exercice 4 : Aire du triangle (3 façons)

En vous basant sur la figure (qui montre un triangle ABC et ses trois hauteurs $AK$, $BH$ et $CL$), exprimer l'aire du triangle ABC de 3 façons différentes.

Exercice 5 : Aires de triangles dans un rectangle

On considère le rectangle ABCD suivant. $P$ est un point sur le segment $[AB]$.

On sait que $AP = 6$ cm, $PB = 4$ cm et $AD = 5$ cm.

Calculer les aires des triangles ADP, BCP et CDP.

Corrigé de l'Exercice 5

Analyse des dimensions du rectangle :

$AD = 5$ cm (donné). Puisque ABCD est un rectangle, $BC = AD = 5$ cm.
$AB = AP + PB = 6 + 4 = 10$ cm.
Puisque ABCD est un rectangle, $DC = AB = 10$ cm.
Les angles en A, B, C, et D sont des angles droits ($90^\circ$).

1. Aire du triangle ADP :

Le triangle ADP est rectangle en A.

Base = $AP = 6$ cm.
Hauteur = $AD = 5$ cm.
$\text{Aire(ADP)} = \dfrac{AP \times AD}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$ cm².
$\text{Aire(ADP)} = 15$ cm².

2. Aire du triangle BCP :

Le triangle BCP est rectangle en B.

Base = $PB = 4$ cm.
Hauteur = $BC = 5$ cm.
$\text{Aire(BCP)} = \dfrac{PB \times BC}{2} = \dfrac{4 \times 5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ cm².
$\text{Aire(BCP)} = 10$ cm².

3. Aire du triangle CDP :

On utilise la base $[DC]$ et la hauteur issue de P.

Base = $DC = 10$ cm.
La hauteur est la distance perpendiculaire du point P à la droite $(DC)$. Puisque $(AB)$ est parallèle à $(DC)$, cette hauteur est $AD$ (ou $BC$).
Hauteur = $AD = 5$ cm.
$\text{Aire(CDP)} = \dfrac{DC \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{10 \times 5}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$ cm².
$\text{Aire(CDP)} = 25$ cm².

(Vérification : $15 + 10 + 25 = 50$ cm². L'aire du rectangle est $10 \times 5 = 50$ cm². La somme des aires des triangles est bien égale à l'aire du rectangle.)

Calculs d'Aires et de Mesures

Exercice 1 : Aire d'une surface (Demi-disques)

Corrigé de l'Exercice 1

Exercice 2 : Aire d'un parallélogramme

Corrigé de l'Exercice 2

Exercice 3 : Le Losange (Construction et Aire)

Corrigé de l'Exercice 3

Exercice 4 : Aire du triangle (3 façons)

Corrigé de l'Exercice 4

Exercice 5 : Aires de triangles dans un rectangle

Corrigé de l'Exercice 5

Calculs d'Aires et de Mesures

Exercice 1 : Aire d'une surface (Demi-disques)

Corrigé de l'Exercice 1

Exercice 2 : Aire d'un parallélogramme

Corrigé de l'Exercice 2

Exercice 3 : Le Losange (Construction et Aire)

Corrigé de l'Exercice 3

Exercice 4 : Aire du triangle (3 façons)

Corrigé de l'Exercice 4

Exercice 5 : Aires de triangles dans un rectangle

Corrigé de l'Exercice 5

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