Géométrie : Le Rectangle

Corrigé de l'Exercice 2

Corrigé de l'Exercice 3

Analyse :

Si ABCD est un rectangle de centre I, alors I est le milieu des diagonales [AC] et [BD].

Si (d) est un axe de symétrie du rectangle et que I est sur (d), alors (d) est forcément la médiatrice de deux côtés opposés (par exemple [AB] et [DC]) ou des deux autres ([AD] et [BC]).

Puisque A n'est pas sur (d), son symétrique (soit B soit D) sera de l'autre côté de (d).

Méthode de construction :

1. Placer (d), I sur (d), et A.
2. Construire C, le symétrique de A par rapport à I (symétrie centrale). (I est le milieu de [AC]).
3. Construire B, le symétrique de A par rapport à la droite (d) (symétrie axiale).
4. Construire D, le symétrique de C par rapport à la droite (d).
5. Tracer le quadrilatère ABCD.

Justification : Par construction, (d) est la médiatrice de [AB] et [DC]. Et I est le milieu de [AC] et [BD]. Le quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu (parallélogramme) et un axe de symétrie qui n'est pas une diagonale (donc rectangle).

Corrigé de l'Exercice 4

Analyse de la construction :

1. On place O. On trace un cercle de rayon 6 cm.

2. On place I sur le cercle. On place J tel que $\widehat{IOJ} = 70^\circ$.

3. $OI = OK = 6$ cm signifie que O est le milieu de [IK]. La diagonale [IK] mesure 12 cm.

4. $OJ = OL = 6$ cm signifie que O est le milieu de [JL]. La diagonale [JL] mesure 12 cm.

Justification :

Le quadrilatère IJKL a ses diagonales [IK] et [JL] qui se coupent en leur milieu O.
Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c'est un parallélogramme.

De plus, les diagonales mesurent $IK = OI + OK = 6 + 6 = 12$ cm et $JL = OJ + OL = 6 + 6 = 12$ cm. Elles ont la même longueur.

Propriété : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.

Le quadrilatère IJKL est donc un rectangle.

(Note : ce n'est pas un carré car ses diagonales ne sont pas perpendiculaires, l'angle $\widehat{IOJ} = 70^\circ$ et non $90^\circ$).

Corrigé de l'Exercice 5