Rectangles et Propriétés
Exercice 1 : Définition et Vocabulaire
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses pour un rectangle :
- a) Un rectangle est un parallélogramme particulier.
- b) Il possède quatre angles droits.
- c) Ses côtés consécutifs sont toujours de même longueur.
- d) Ses diagonales ont la même longueur.
- e) Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Exercice 2 : Propriétés des diagonales
Soit $ABCD$ un rectangle de centre $O$.
- a) Si $AC = 10$ cm, que vaut la longueur $BD$ ?
- b) Si $OA = 5$ cm, que vaut la longueur $OB$ ?
- c) Si $BD = 12$ cm, que vaut la longueur $OC$ ?
- d) Les diagonales sont-elles perpendiculaires ?
- e) Le point $O$ est-il à égale distance des quatre sommets ?
Exercice 3 : Côtés et Périmètre
Calculer les valeurs manquantes pour un rectangle $EFGH$ :
- a) Longueur $L = 8$ cm, largeur $l = 5$ cm. Périmètre ?
- b) Longueur $L = 10$ cm, demi-périmètre $= 16$ cm. Largeur ?
- c) Périmètre $= 24$ cm, largeur $l = 4$ cm. Longueur ?
- d) Si $EF = 7$ cm et $FG = 7$ cm, quelle est la nature de $EFGH$ ?
- e) Si la longueur est le triple de la largeur et $l = 3$ cm, quel est le périmètre ?
Exercice 4 : Reconnaître des rectangles
Parmi les figures suivantes, lesquelles sont des rectangles ? Justifier.
Figure 1
Figure 2
Figure 3
- a) Fig 1 : Quadrilatère possédant 3 angles droits.
- b) Fig 2 : Parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
- c) Fig 3 : Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
- d) Fig 4 : Parallélogramme possédant un angle droit.
- e) Fig 5 : Quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.
Exercice 5 : Angles et Diagonales
Soit $ABCD$ un rectangle de centre $O$.
- a) Quelle est la nature du triangle $OAB$ ?
- b) Si $\widehat{OAB} = 30^\circ$, que vaut l'angle $\widehat{OBA}$ ?
- c) Si $\widehat{OAB} = 30^\circ$, calculer l'angle $\widehat{AOB}$.
- d) Si $\widehat{AOB} = 60^\circ$, quelle est la nature précise de $OAB$ ?
- e) La diagonale $[AC]$ est-elle la bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ ?
Exercice 6 : Démontrer avec les propriétés
- a) Démontrer qu'un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un rectangle ?
- b) Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur est-il un rectangle ?
- c) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$. On construit $D$ le symétrique de $B$ par rapport au milieu de $[AC]$. Nature de $ABCD$ ?
- d) Calculer le périmètre d'un rectangle dont la longueur vaut $12$ cm et la largeur est le quart de la longueur.