Géométrie : Médiatrices et Cercle Circonscrit

Propriété : Si un point (M) est équidistant des extrémités d'un segment [AB] (c'est-à-dire $MA = MB$), alors ce point M appartient à la médiatrice du segment [AB].

1. D'après l'énoncé, on a $MA = MB$. Donc, d'après la propriété ci-dessus, M appartient à la médiatrice de [AB].

2. D'après l'énoncé, I est le milieu de [AB]. Par définition, le milieu d'un segment appartient à sa médiatrice. Donc, I appartient aussi à la médiatrice de [AB].

3. Les points M et I sont deux points distincts (car A, B, M non alignés) qui appartiennent tous les deux à la médiatrice de [AB]. La droite (MI) est donc la médiatrice de [AB].

4. Par définition, la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment.

Conclusion : Oui, la phrase est toujours vraie. Si $MA = MB$, alors la droite (MI) est la médiatrice de [AB] et est donc bien perpendiculaire à (AB).

Construction :

1. Piquer le compas sur A. Tracer un arc de cercle qui coupe la droite (d) en deux points (appelons-les B et C).
2. Piquer le compas sur B. Choisir un écartement (pas besoin de changer, on peut garder AB) et tracer un arc de cercle de l'autre côté de (d).
3. Garder le même écartement. Piquer sur C et tracer un arc qui coupe le précédent en un point (appelons-le D).
4. Avec la règle non graduée, tracer la droite (AD).

La droite (AD) est la perpendiculaire à (d) passant par A.

Justification :

1. Par l'étape 1, les points B et C sont sur le même cercle de centre A. Donc $AB = AC$. Le point A est équidistant de B et C, il appartient donc à la médiatrice du segment [BC].

2. Par les étapes 2 et 3, le point D a été tracé avec le même écartement de compas depuis B et C. Donc $DB = DC$. Le point D est équidistant de B et C, il appartient donc aussi à la médiatrice du segment [BC].

3. La droite (AD) passe par A et D, qui sont tous deux sur la médiatrice de [BC]. La droite (AD) est donc la médiatrice de [BC].

4. Par définition, la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment. Donc (AD) est perpendiculaire à (BC).

5. Puisque B et C sont sur la droite (d), la droite (BC) est la même que la droite (d).
Donc, (AD) est perpendiculaire à (d).

1. On sait que la droite (MI) passe par I, le milieu de [AB].

2. On sait aussi que la droite (MI) est perpendiculaire à la droite (AB).

3. Définition : La droite qui passe par le milieu d'un segment en lui étant perpendiculaire est la médiatrice de ce segment.

4. Donc, la droite (MI) est la médiatrice du segment [AB].

5. Le point M appartient à la droite (MI), il appartient donc à la médiatrice de [AB].

6. Propriété : Si un point (M) appartient à la médiatrice d'un segment [AB], alors il est équidistant des extrémités de ce segment (c'est-à-dire $MA = MB$).

7. Puisque $MA = MB$, le triangle MAB a deux côtés de même longueur.

Conclusion : Le triangle MAB est isocèle en M.