Exercices : Cosinus dans le triangle rectangle

Dans le triangle DEF rectangle en D :

On connaît l'angle $\hat{E}$, l'hypoténuse [EF] et on cherche le côté adjacent [DE]. On utilise donc le cosinus.

$\cos(\hat{E}) = \dfrac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \dfrac{DE}{EF}$

$\cos(60^\circ) = \dfrac{DE}{8}$

$DE = 8 \times \cos(60^\circ)$

$DE = 8 \times 0,5$

$DE = $ $4 \text{ cm}$. (La valeur est exacte).

Dans le triangle GHI rectangle en G :

On connaît l'angle $\hat{H}$, le côté adjacent [GH] et on cherche l'hypoténuse [HI]. On utilise donc le cosinus.

$\cos(\hat{H}) = \dfrac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \dfrac{GH}{HI}$

$\cos(40^\circ) = \dfrac{5}{HI}$

On utilise le produit en croix : $HI \times \cos(40^\circ) = 5$

$HI = \dfrac{5}{\cos(40^\circ)}$

$HI \approx \dfrac{5}{0,766...}$

$HI \approx 6,527...$

$HI \approx $ $6,5 \text{ cm}$ (arrondi au millimètre près).

Dans le triangle JKL rectangle en J :

On cherche l'angle $\hat{K}$. On connaît son côté adjacent [JK] et l'hypoténuse [KL]. On utilise donc le cosinus.

$\cos(\hat{K}) = \dfrac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \dfrac{JK}{KL}$

$\cos(\hat{K}) = \dfrac{7}{10}$

$\cos(\hat{K}) = 0,7$

Pour trouver l'angle, on utilise la fonction $\arccos$ (ou $\cos^{-1}$ sur la calculatrice) :

$\hat{K} = \arccos(0,7)$

$\hat{K} \approx 45,57...^\circ$

$\hat{K} \approx $ $46^\circ$ (arrondi au degré près).

La situation forme un triangle rectangle (Mur, Sol, Échelle).

L'échelle est l'hypoténuse : $\text{Hypoténuse} = 5 \text{ m}$.

L'angle au sol est $\text{Angle} = 65^\circ$.

La distance recherchée est le côté adjacent à l'angle de 65°.

On utilise le cosinus :

$\cos(\text{Angle}) = \dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$

$\cos(65^\circ) = \dfrac{\text{Distance}}{\text{5}}$

$\text{Distance} = 5 \times \cos(65^\circ)$

$\text{Distance} \approx 5 \times 0,4226...$

$\text{Distance} \approx 2,113... \text{ m}$

Le pied de l'échelle se trouve à environ $2,11 \text{ m}$ du mur (arrondi au centimètre).