Exercices : Agrandissement et Réduction

Hypothèses : Les hypothèses sont les mêmes que pour l'exercice 1.

Propriété : On utilise la même propriété :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Calcul : On utilise l'égalité qui nous intéresse :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$

On remplace par les valeurs connues :

$\dfrac{3}{7} = \dfrac{MN}{14}$

On utilise le produit en croix :

$7 \times MN = 3 \times 14$

$7 \times MN = 42$

$MN = \dfrac{42}{7} = 6 \text{ cm}$

Conclusion : La longueur MN est 6 cm.

Propriété : si on multiplie les longueurs d'une figure par un coefficient $k$, son aire est multipliée par $k^2$.

Calcul :

Le coefficient d'agrandissement des longueurs est $k = 3$.

Le coefficient d'agrandissement des aires est donc $k^2 = 3^2 = 9$.

On calcule la nouvelle aire $S'$ :

$S' = S \times k^2$

$S' = 20 \text{ cm}^2 \times 9 = 180 \text{ cm}^2$

Conclusion : La nouvelle aire est 180 cm².

Propriété : On utilise la même propriété. Si les longueurs sont multipliées par $k$, l'aire est multipliée par $k^2$.

Calcul :

Le coefficient de réduction des longueurs est $k = \dfrac{1}{5}$.

Le coefficient de réduction des aires est $k^2 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \dfrac{1^2}{5^2} = \dfrac{1}{25}$.

On calcule la nouvelle aire $S'$ :

$S' = S \times k^2$

$S' = 50 \text{ m}^2 \times \dfrac{1}{25} = \dfrac{50}{25} = 2 \text{ m}^2$

Conclusion : La nouvelle aire est 2 m².

Propriété : Soit $k$ le coefficient d'agrandissement des longueurs. Le coefficient d'agrandissement des aires est $k^2$.

On a la relation : $S' = S \times k^2$

Calcul :

On remplace par les valeurs connues :

$400 \text{ cm}^2 = 100 \text{ cm}^2 \times k^2$

On isole $k^2$ :

$k^2 = \dfrac{400}{100} = 4$

On cherche $k$, le coefficient d'agrandissement des longueurs. Puisque c'est un agrandissement, $k$ est positif.

$k = \sqrt{4} = 2$

Conclusion : Le coefficient d'agrandissement des longueurs est k = 2.