Exercices : Droites des milieux dans un triangle

Hypothèses :

• Dans le triangle DEF :
• M est le milieu de [DE].
• N est le milieu de [DF].
• EF = 12 cm.

Propriété (Propriété 2 du cours) :

Si un segment joint les milieux de deux des côtés d'un triangle alors il mesure la moitié du troisième côté de ce triangle.

Conclusion :

On applique la propriété au triangle DEF :

$MN = \dfrac{EF}{2}$

$MN = \dfrac{12}{2} = 6$ cm.

Le segment [MN] mesure 6 cm.

Hypothèses :

• Dans le triangle RST :
• K est le milieu de [RS].
• La droite (KL) est parallèle à (ST).
• L est un point de [RT].

Propriété (Propriété 3 du cours) :

Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et est parallèle à un deuxième côté de ce triangle alors cette droite passe par le milieu du troisième côté de ce triangle.

Conclusion :

On applique la propriété au triangle RST :

Le point L est le milieu du segment [RT].

1. Démontrons que (IJ) // (AC) :

On se place dans le triangle ABC.

• Par hypothèse, I est le milieu de [AB].
• Par hypothèse, J est le milieu de [BC].

D'après la Propriété 1 (théorème des milieux), la droite (IJ) qui passe par les milieux de [AB] et [BC] est parallèle au troisième côté (AC).

Donc (IJ) // (AC).

2. Démontrons que (LK) // (AC) :

On se place dans le triangle ADC.

• Par hypothèse, L est le milieu de [DA].
• Par hypothèse, K est le milieu de [DC].

D'après la Propriété 1 (théorème des milieux), la droite (LK) qui passe par les milieux de [DA] et [DC] est parallèle au troisième côté (AC).

Donc (LK) // (AC).

3. Conclusion :

On a démontré que (IJ) // (AC) et que (LK) // (AC).

Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

On en déduit que (IJ) // (LK).

a) Faux. D'après la Propriété 2, le segment mesure la *moitié* du troisième côté : $IJ = \dfrac{BC}{2}$.

b) Vrai. C'est une application directe de la Propriété 2 : $MN = \dfrac{EF}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ cm.

c) Faux. Il manque une condition. D'après la Propriété 3, il faut *aussi* que la droite (KL) soit parallèle à (ST) pour conclure que L est le milieu de [RT].

d) Faux. (Sauf si le triangle est isocèle en A). D'après la Propriété 2, $IJ = \dfrac{BC}{2}$ et $IK = \dfrac{AC}{2}$. $IJ = IK$ seulement si $BC = AC$.