Exercices : Tangente à un cercle et Bissectrice

Définition :

La distance d'un point à une droite est la longueur du segment reliant ce point au pied de la perpendiculaire abaissée de ce point à la droite.

Dans notre cas, $AH$ est la distance du point A à la droite (d), car (AH) est perpendiculaire à (d) en H.

Analyse et propriété :

Le triangle AMH est un triangle rectangle en H. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long.

Ici, [AM] est l'hypoténuse du triangle AMH.

Conclusion :

Puisque [AM] est l'hypoténuse et [AH] est un des côtés de l'angle droit, on a toujours $AM > AH$. La distance (segment perpendiculaire) est le plus court chemin entre un point et une droite.

Hypothèses :

• Le point P est à l'intérieur de l'angle $\widehat{xOy}$.
• PM est la distance de P à la droite (Ox) (car (PM) $\perp$ (Ox)).
• PN est la distance de P à la droite (Oy) (car (PN) $\perp$ (Oy)).
• On a $PM = PN = 3$ cm.

Propriété :

Si un point est équidistant des deux côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.

Conclusion :

Puisque le point P est équidistant des côtés (Ox) et (Oy) de l'angle $\widehat{xOy}$ ($PM=PN$), alors le point P appartient à la bissectrice de l'angle $\widehat{xOy}$.

Étapes de construction :

1. Tracer le cercle (C) de centre O et de rayon 4 cm.
2. Placer le point A n'importe où sur ce cercle.
3. Tracer le rayon [OA].
4. À l'aide d'une équerre (ou d'un compas si vous construisez la perpendiculaire), tracer la droite (d) qui passe par A et qui est perpendiculaire au rayon [OA].

Justification :

D'après la définition 1 du cours : "On appelle tangente à un cercle en un point la droite perpendiculaire au rayon du cercle issu de ce point."

Puisque la droite (d) que nous avons construite passe par le point A du cercle et est perpendiculaire au rayon [OA] en ce point A, elle satisfait précisément la définition d'une tangente.

La droite (d) est bien la tangente au cercle (C) au point A.

a) Vrai. C'est la définition d'une tangente à un cercle.

b) Vrai. La distance est toujours définie comme le plus court chemin, qui est le segment perpendiculaire.

c) Vrai. C'est la propriété fondamentale des points d'une bissectrice.

d) Faux. Si (AB) est perpendiculaire au rayon [OA] au point A, cela signifie que (AB) est tangente au cercle en A. Une tangente ne coupe le cercle qu'en un seul point, ce n'est donc pas une sécante (qui coupe en deux points).