Exercices : Triangle rectangle et cercle

Hypothèse : Le triangle ABC est rectangle en B. Le point O est le milieu de l'hypoténuse [AC]. Le segment [OB] est donc la médiane issue du sommet de l'angle droit B.

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Calcul :

$OB = \dfrac{AC}{2}$

$OB = \dfrac{8}{2}$

$OB = 4$

La longueur OB est de 4 cm.

Analyse :

Pour qu'un point appartienne au cercle de diamètre [AB], il faut que le triangle formé par ce point et les points A et B soit rectangle en ce point.

Nous allons donc examiner l'angle en chacun des trois points E, D et C.

• Pour le point E : L'angle $\widehat{AEB}$ mesure 80°. Comme $80^\circ \neq 90^\circ$, le triangle AEB n'est pas rectangle en E. Le point E n'appartient pas au cercle de diamètre [AB].
• Pour le point D : L'angle $\widehat{ADB}$ mesure 90°. Le triangle ADB est donc rectangle en D.
• Pour le point C : L'angle $\widehat{ACB}$ mesure 120°. Comme $120^\circ \neq 90^\circ$, le triangle ACB n'est pas rectangle en C. Le point C n'appartient pas au cercle de diamètre [AB].

Conclusion :

Hypothèse : Le triangle ADB est rectangle en D.

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle.

Puisque le triangle ADB est rectangle en D, son hypoténuse est [AB]. Il est donc inscrit dans le cercle de diamètre [AB].

Le point D est le seul de ces trois points à appartenir au cercle de diamètre [AB].