Exercices : Médiatrices et cercle circonscrit

Méthode pour trouver le centre d'un cercle :

1. Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle (C).
2. Tracer les segments [AB] et [BC]. Ces segments sont des cordes du cercle.
3. Construire la médiatrice (d1) du segment [AB] (à l'aide d'un compas et d'une règle).
4. Construire la médiatrice (d2) du segment [BC].
5. Le point d'intersection O des droites (d1) et (d2) est le centre du cercle (C).

Propriété utilisée : Le centre d'un cercle est équidistant de tous les points du cercle. Par conséquent, le centre O doit être sur la médiatrice de [AB] (car $OA = OB$) et sur la médiatrice de [BC] (car $OB = OC$). Le centre est donc le point d'intersection des médiatrices de (au moins) deux cordes du cercle.

1 - Figure :

2 - Démontrer que MACB et ANCB sont des parallélogrammes :

Hypothèse : Par construction, (AM) // (BC) et (MB) // (AC).

Propriété : Un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme.

Conclusion : MACB est un parallélogramme.

Hypothèse : Par construction, (AN) // (BC) et (NC) // (AB).

Propriété : Un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme.

Conclusion : ANCB (ou ACNB) est un parallélogramme.

3 - En déduire que (d) est perpendiculaire à (MN) :

Hypothèse : (AM) // (BC) et (AN) // (BC). Comme les deux droites (AM) et (AN) sont parallèles à (BC) et passent par le même point A, elles sont confondues. Les points M, A et N sont alignés et la droite (MN) est parallèle à (BC).

Hypothèse (suite) : (d) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC, donc (d) ⊥ (BC).

Propriété : Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Conclusion : Puisque (MN) // (BC) et (d) ⊥ (BC), alors (d) ⊥ (MN).

4 - Démontrer que A est le milieu de [MN] et déduire la nature de (d) :

Hypothèse : MACB est un parallélogramme.

Propriété : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur.

Conclusion : $MA = BC$.

Hypothèse : ANCB est un parallélogramme.

Propriété : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur.

Conclusion : $AN = BC$.

Conclusion (milieu) : On a $MA = BC$ et $AN = BC$, donc $MA = AN$. Comme M, A et N sont alignés, A est le milieu du segment [MN].

Déduction finale :

Hypothèse : On sait que (d) ⊥ (MN) (question 3) et que A est le milieu de [MN] (question 4). Le point A appartient à (d).

Propriété : La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.

Conclusion : (d) est la médiatrice du segment [MN].

a) Faux. C'est vrai pour un triangle acutangle (angles aigus), mais pour un triangle obtusangle (un angle obtus), le centre est à l'extérieur du triangle.

b) Faux. Le centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des médiatrices. Le point d'intersection des hauteurs s'appelle l'orthocentre.

c) Vrai. C'est une propriété fondamentale du triangle rectangle.

d) Vrai. Les trois médiatrices d'un triangle sont toujours concourantes en un point unique (le centre du cercle circonscrit).

e) Vrai. Le centre O est équidistant des trois sommets A, B et C ($OA = OB = OC$), et cette distance est le rayon du cercle.