Exercices : Réciproque de Pythagore

1) Figure (le triangle est rectangle en E, échelle 1/64) :

2) On cherche à savoir si le triangle EFG est rectangle. Le plus grand côté est [FG], qui mesure 320.
D'une part : $FG^2 = 320^2 = $ $102 400$.
D'autre part : $EF^2 + EG^2 = 192^2 + 256^2 = 36 864 + 65 536 = $ $102 400$.
On constate que $FG^2 = EF^2 + EG^2$.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.

1) Figure (le triangle est presque rectangle en K) :

2) On cherche à savoir si le triangle KLM est rectangle. Le plus grand côté est [LM], qui mesure 6,4 cm.
D'une part : $LM^2 = 6,4^2 = $ $40,96$.
D'autre part : $KL^2 + KM^2 = 5,3^2 + 3,6^2 = 28,09 + 12,96 = $ $41,05$.
On constate que $LM^2 \neq KL^2 + KM^2$.
Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle KLM n'est pas rectangle.

Pour savoir si FEC est rectangle, on doit calculer les carrés des longueurs de ses 3 côtés : $FE^2$, $FC^2$, et $EC^2$.

Calcul de $FE^2$ : F est le milieu de [AD] et $AD = BC = 5$. Donc $AF = 2,5$. Le triangle AEF est rectangle en A (car ABCD est un rectangle). $FE^2 = AF^2 + AE^2 = 2,5^2 + 2^2 = 6,25 + 4 = $ $10,25$.

Calcul de $FC^2$ : F est le milieu de [AD] donc $FD = 2,5$. $DC = 8$. Le triangle FDC est rectangle en D. $FC^2 = FD^2 + DC^2 = 2,5^2 + 8^2 = 6,25 + 64 = $ $70,25$.

Calcul de $EC^2$ : On a $EB = AB - AE = 8 - 2 = 6$. $BC = 5$. Le triangle EBC est rectangle en B. $EC^2 = EB^2 + BC^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = $ $61$.

Vérification : Le plus grand côté est [FC], son carré est $FC^2 = 70,25$.
D'une part : $FC^2 = $ $70,25$.
D'autre part : $FE^2 + EC^2 = 10,25 + 61 = $ $71,25$.
On constate que $FC^2 \neq FE^2 + EC^2$.
Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle FEC n'est pas rectangle.

1) Condition : Pour que le triangle ABM soit rectangle en M, il faut que la réciproque de Pythagore s'applique : $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
Donc $AB = \sqrt{100} = $ $10 \text{ cm}$.
Puisque ABCD est un rectangle, on a $DC = AB$. Donc $DC = 10 \text{ cm}$.

2) Calcul de AD : Soit $AD = h$ et $DM = x$. Le triangle ADM est rectangle en D. $AM^2 = AD^2 + DM^2$ $8^2 = h^2 + x^2 \Rightarrow $ $64 = h^2 + x^2$.

3) Calcul de MC : On a $MC = DC - DM = 10 - x$. Le triangle BCM est rectangle en C. $BM^2 = BC^2 + MC^2$ (et $BC = AD = h$) $6^2 = h^2 + (10 - x)^2 \Rightarrow $ $36 = h^2 + (100 - 20x + x^2)$.

4) Résolution : On a un système de deux équations : (1) $h^2 = 64 - x^2$ (2) $h^2 = 36 - (100 - 20x + x^2) = 36 - 100 + 20x - x^2 = -64 + 20x - x^2$
On égalise les deux expressions de $h^2$ : $64 - x^2 = -64 + 20x - x^2$ $64 = -64 + 20x$ $128 = 20x$ $x = \dfrac{128}{20} = $ $6,4 \text{ cm}$.
La distance DM doit être de 6,4 cm.