Exercices : Théorème de Pythagore

a) Le mât, le sol et le câble forment un triangle rectangle. Le câble est l'hypoténuse. Distance$^2 = 6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11$. Distance = $\sqrt{11} \approx 3,3166...$ m. La distance est d'environ 3,32 m.

b) On vérifie si $20^2 + 30^2 = 36^2$. $400 + 900 = 1300$. $36^2 = 1296$. $1300 \neq 1296$. Non, l'étagère n'est pas parfaitement perpendiculaire.

c) La diagonale est l'hypoténuse. $d^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. $d = \sqrt{50} \approx 7,071...$ cm. La diagonale mesure environ 7,1 cm.

d) La hauteur coupe la base en son milieu (4 cm). Elle forme un triangle rectangle d'hypoténuse 8 cm et d'un côté 4 cm. $h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$. $h = \sqrt{48} \approx 6,928...$ cm. La hauteur mesure environ 6,9 cm.

1) Le triangle PQR est rectangle en P. L'hypoténuse est [QR]. D'après le théorème de Pythagore : $QR^2 = PQ^2 + PR^2$

2) a) Figure :

2) b) Le triangle DEF est rectangle en F. L'hypoténuse est [DE]. $DE^2 = DF^2 + EF^2 = 4,1^2 + 7^2 = 16,81 + 49 = 65,81$. $DE = \sqrt{65,81} \approx 8,112...$ cm. $DE \approx 8,1 \text{ cm}$.

3) a) Figure :

3) b) Le triangle ROC est rectangle en O. L'hypoténuse est [RC]. $RC^2 = RO^2 + OC^2$. Donc $RO^2 = RC^2 - OC^2$. $RO^2 = 6,8^2 - 5,1^2 = 46,24 - 26,01 = 20,23$. $RO = \sqrt{20,23} \approx 4,497...$ cm. $RO \approx 4,5 \text{ cm}$.

1) Le triangle BUC est rectangle en U. L'hypoténuse est [BC]. $BC^2 = BU^2 + UC^2$. Donc $UC^2 = BC^2 - BU^2$. $UC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$. $UC = \sqrt{144} = $ $12$.

2) L'aire d'un triangle rectangle est (côté1 × côté2) / 2. Aire(BUC) = $\dfrac{BU \times UC}{2} = \dfrac{16 \times 12}{2} = \dfrac{192}{2} = $ $96$.
L'aire est aussi (Base × Hauteur) / 2. Aire(BUC) = $\dfrac{BC \times UH}{2}$. $96 = \dfrac{20 \times UH}{2} = 10 \times UH$. $UH = \dfrac{96}{10} = $ $9,6$.

1) $MN = MI + IN = 8 + 7 = 15$. Dans le triangle MNP rectangle en N, l'hypoténuse est [MP]. $MP^2 = MN^2 + NP^2$. Donc $NP^2 = MP^2 - MN^2$. $NP^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$. $NP = \sqrt(400) = $ $20$.

2) On sait que (NP) $\perp$ (MN) (car MNP est rectangle en N). On sait aussi que (IJ) $||$ (NP). Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc (IJ) $\perp$ (MN). Le triangle MIJ est rectangle en I.

3) Le triangle MIJ est rectangle en I. L'hypoténuse est [MJ]. $MJ^2 = MI^2 + IJ^2 = 8^2 + 10,7^2 = 64 + 114,49 = 178,49$. $MJ = \sqrt{178,49} \approx 13,359...$ $MJ \approx 13,4$.

1) On calcule l'angle $\hat{C}$ : $\hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^\circ - (35^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = $ $90^\circ$.

2) Le triangle ABC est donc rectangle en C. L'hypoténuse est [AB]. D'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Donc $BC^2 = AB^2 - AC^2$.

3) $BC^2 = 10^2 - 9^2 = 100 - 81 = 19$. $BC = \sqrt{19} \approx 4,358...$ cm. $BC \approx 4,4 \text{ cm}$.

1) La droite (BE) est perpendiculaire à (AF). Donc le triangle ABE est rectangle en E. L'hypoténuse est [AB]. $AB^2 = AE^2 + BE^2$. $AE^2 = AB^2 - BE^2 = 10,4^2 - 9,6^2 = 108,16 - 92,16 = 16$. $AE = \sqrt{16} = $ $4 \text{ cm}$.
$AF = AE + EF = 4 + 7,2 = $ $11,2 \text{ cm}$.

2) Aire(ABE) = $\dfrac{AE \times BE}{2} = \dfrac{4 \times 9,6}{2} = $ $19,2 \text{ cm}^2$.
Le triangle BEF est aussi rectangle en E. Aire(BEF) = $\dfrac{EF \times BE}{2} = \dfrac{7,2 \times 9,6}{2} = $ $34,56 \text{ cm}^2$.
Aire(ABF) = Aire(ABE) + Aire(BEF) = $19,2 + 34,56 = $ $53,76 \text{ cm}^2$.

3) L'aire du triangle ABF a été calculée à la question 2 : Aire(ABF) = $53,76 \text{ cm}^2$.
On peut aussi calculer l'aire de ce triangle en utilisant la base [AB] et la hauteur correspondante. Comme ABCD est un rectangle, la hauteur relative à la base [AB] (qui est sur la droite (AB)) issue du point F (qui est sur la droite (DC)) est la distance entre les droites parallèles (AB) et (DC). Cette distance est la longueur AD.
Aire(ABF) = $\dfrac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2} = \dfrac{AB \times AD}{2}$.
On a donc l'équation : $53,76 = \dfrac{10,4 \times AD}{2}$.
$53,76 = 5,2 \times AD$.
$AD = \dfrac{53,76}{5,2} \approx 10,338...$
$AD \approx 10,3 \text{ cm}$.

4) On a $AB = 10,4 \text{ cm}$ et $AD \approx 10,3 \text{ cm}$. Les côtés ne sont pas égaux, donc ABCD n'est pas un carré.