Exercices sur les Formules de Trigonométrie

On utilise la relation fondamentale de la trigonométrie :
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

On remplace $\sin x$ par sa valeur :
$(0,6)^2 + \cos^2 x = 1$
$0,36 + \cos^2 x = 1$
$\cos^2 x = 1 - 0,36$
$\cos^2 x = 0,64$

Comme $x$ est un angle aigu, $\cos x > 0$ :
$\cos x = \sqrt{0,64} = $ $0,8$.

Maintenant, on calcule $\tan x$ avec la formule $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ :
$\tan x = \dfrac{0,6}{0,8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
$\tan x = 0,75$.

On utilise la relation $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ :
$\sin^2 x + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1$
$\sin^2 x + \dfrac{3}{4} = 1$
$\sin^2 x = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$

Comme $x$ est aigu, $\sin x > 0$ :
$\sin x = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = $ $\dfrac{1}{2}$.

Calcul de $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ :
$\tan x = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
En rationalisant le dénominateur :
$\tan x = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = $ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

(On reconnaît l'angle $x = 30^\circ$).

Rappels dans le triangle ABC rectangle en A :
$\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC}$, $\sin \widehat{C} = \dfrac{AB}{BC}$, $\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}$, $\tan \widehat{C} = \dfrac{AB}{AC}$.

1) $\dfrac{\sin \widehat{B}}{AC} = \dfrac{AC/BC}{AC} = \dfrac{AC}{BC \times AC} = \dfrac{1}{BC}$.
$\dfrac{\sin \widehat{C}}{AB} = \dfrac{AB/BC}{AB} = \dfrac{AB}{BC \times AB} = \dfrac{1}{BC}$.
Les deux membres sont égaux, l'égalité est vérifiée.

2) Calculons d'abord $\tan \widehat{B} \times \tan \widehat{C} = \dfrac{AC}{AB} \times \dfrac{AB}{AC} = 1$.
Développons le membre de gauche :
$(\tan \widehat{B} + \tan \widehat{C})^2 = (\tan \widehat{B})^2 + (\tan \widehat{C})^2 + 2 \times \tan \widehat{B} \times \tan \widehat{C}$
$= (\tan \widehat{B})^2 + (\tan \widehat{C})^2 + 2 \times 1$
$= (\tan \widehat{B})^2 + (\tan \widehat{C})^2 + 2$.
L'égalité est démontrée.

3) On sait que $\tan \widehat{B} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}}$.
$\dfrac{\cos \widehat{B} \times \tan \widehat{B}}{\sin \widehat{B}} = \dfrac{\cos \widehat{B} \times \frac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}}}{\sin \widehat{B}} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{\sin \widehat{B}} = 1$.
L'égalité est vérifiée.