Exercices sur la Géométrie : Cercle, Triangle, Angles

2) Nature du triangle MNP :
Le point P appartient au cercle de diamètre [MN].
Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle MNP est rectangle en P.

3) Calcul de l'angle $\widehat{MNP}$ :
Dans le triangle MNP rectangle en P :
On connaît l'hypoténuse $MN = 8$ cm et le côté opposé $MP = 5$ cm.
On utilise le sinus : $\sin(\widehat{MNP}) = \dfrac{MP}{MN} = \dfrac{5}{8} = 0,625$.
$\widehat{MNP} = \arcsin(0,625) \approx 38,68...^\circ$
Arrondi au degré : $\widehat{MNP} \approx 39^\circ$.

1) Angle au centre :
Un hexagone régulier a 6 côtés égaux. L'angle plein de $360^\circ$ est divisé en 6 angles au centre égaux.
$\widehat{AOB} = \dfrac{360}{6} = $ $60^\circ$.

2) Nature du triangle AOB :
On sait que $OA = OB$ (rayons du cercle), donc le triangle AOB est isocèle en O.
De plus, l'angle au sommet $\widehat{AOB} = 60^\circ$.
Un triangle isocèle ayant un angle de $60^\circ$ est un triangle équilatéral.
Donc AOB est un triangle équilatéral.

3) Périmètre :
Puisque AOB est équilatéral, $AB = OA = 4$ cm.
Les 6 côtés de l'hexagone sont égaux.
Périmètre = $6 \times AB = 6 \times 4 = $ $24$ cm.

1) Angle au centre :
Un octogone a 8 côtés. $\widehat{IOJ} = \dfrac{360}{8} = $ $45^\circ$.

2a) Nature de OHI :
Le triangle OIJ est isocèle en O ($OI=OJ=5$ cm).
Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi hauteur et bissectrice.
Donc $(OH) \perp (IJ)$. Le triangle OHI est rectangle en H.

2b) Calcul de OH :
Dans le triangle OHI rectangle en H :
$\widehat{HOI} = \dfrac{1}{2} \widehat{IOJ} = \dfrac{45}{2} = 22,5^\circ$.
On connaît l'hypoténuse $OI=5$. On cherche le côté adjacent OH.
$\cos(22,5^\circ) = \dfrac{OH}{5} \implies OH = 5 \times \cos(22,5^\circ) \approx 4,619...$
$OH \approx 4,6$ cm.

2c) Calcul de IJ :
Dans OHI, on cherche HI (côté opposé).
$\sin(22,5^\circ) = \dfrac{HI}{5} \implies HI = 5 \times \sin(22,5^\circ) \approx 1,913...$
Comme H est le milieu de [IJ], $IJ = 2 \times HI \approx 3,826...$
$IJ \approx 3,8$ cm.

1) Aire du carré :
$\text{Aire}_{ABCD} = \text{côté} \times \text{côté} = x \times x = $ $x^2$.

2) Longueur ED :
ABCD est un carré donc $AD = AB = x$.
E est sur [AD] et $AE = 4$, donc $ED = AD - AE$.
$ED = x - 4$.

3) Aire du rectangle :
La largeur est $ED = x - 4$ et la longueur est $FG = 15$.
$\text{Aire}_{DEFG} = 15 \times (x - 4) = $ $15x - 60$.

4) Égalité des aires :
On résout l'équation $x^2 = 15x - 60$, soit $x^2 - 15x + 60 = 0$.
Note : Cette équation du second degré n'est pas classique en 3ème sans indications supplémentaires ou factorisation évidente. Vérifions l'énoncé.
Si l'énoncé implique que E est sur [AD], alors $x > 4$.
Essayons une factorisation ou identité. $(x - ?)^2$.
Pour le niveau 3ème, il est probable qu'il s'agisse d'une résolution graphique ou d'une valeur évidente, ou alors l'énoncé attendu est différent ($AE = x$ ?).
Correction adaptée niveau 3ème (si pas de discriminant) :
Testons des valeurs ou une forme canonique simple.
On peut remarquer que si $x=?$... Pas de solution simple entière.
Alternative : Si le problème était géométrique pur sans équation complexe :
Supposons que la question soit formulée pour donner une équation produit : $x^2 - 15x + 60 = 0$.
Discriminant $\Delta = (-15)^2 - 4(1)(60) = 225 - 240 = -15$. Pas de solution réelle.
Il y a donc une impossibilité géométrique avec ces données ($x^2$ croît plus vite que $15x-60$ sans intersection réelle).
(Il est possible que l'énoncé classique soit $AE=x$ et $AD=4$ ou autre).
Correction de l'exercice pour le rendre solvable :
Supposons plutôt que $E$ est à l'extérieur tel que $AD = x$ et la largeur du rectangle soit fixe ou donnée différemment.
Version modifiée standard : Si $x^2 = 4(x+3)$ par exemple.
Passons à une résolution simple :
Si l'aire du carré est $x^2$ et celle du rectangle est $10x$.
$x^2 = 10x \implies x(x-10)=0 \implies x=10$.
Dans le contexte strict de l'exercice posé, l'équation n'a pas de solution. Il n'existe pas de valeur de $x$ convenable.