Exercices sur la Réciproque de Thalès

1) Calcul de OB et CD :
Dans le triangle OCD, (AB) // (CD). D'après Thalès :
$\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD}$
On a $OC = OA + AC = 5 + 4 = 9$.
$\dfrac{5}{9} = \dfrac{OB}{6,3} = \dfrac{4}{CD}$
$OB = \dfrac{5 \times 6,3}{9} = $ $3,5$ cm.
$CD = \dfrac{4 \times 9}{5} = $ $7,2$ cm.

2) Parallélisme (AD) et (CE) :
On compare les rapports $\dfrac{OA}{OC}$ et $\dfrac{OD}{OE}$.
$OE = OD + DE = 6,3 + 5,04 = 11,34$.
$\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{5}{9} \approx 0,555...$
$\dfrac{OD}{OE} = \dfrac{6,3}{11,34} = \dfrac{630}{1134} = \dfrac{5}{9}$ (après simplification par 126).
Les rapports sont égaux. D'après la réciproque de Thalès, (AD) // (CE).

1) Calcul de AG et HG :
Configuration papillon avec (EF) // (HG).
$\dfrac{AE}{AH} = \dfrac{AF}{AG} = \dfrac{EF}{HG}$
$\dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{AG} = \dfrac{6}{HG}$
$AG = \dfrac{4 \times 7}{3} = $ $\dfrac{28}{3}$ cm (environ 9,33 cm).
$HG = \dfrac{6 \times 7}{3} = $ $14$ cm.

2) Parallélisme (IJ) et (EF) :
On compare $\dfrac{AI}{AF}$ et $\dfrac{AJ}{AE}$.
$\dfrac{AI}{AF} = \dfrac{6}{4} = 1,5$.
$\dfrac{AJ}{AE} = \dfrac{4,5}{3} = 1,5$.
Les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre.
Oui, (IJ) // (EF).

2) Calcul de AC :
Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$.
$AC = \sqrt{74}$ cm.

3) Parallélisme (IJ) et (BC) :
On compare $\dfrac{AI}{AB}$ et $\dfrac{AJ}{AC}$.
$\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0,6$.
$\dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{5,1}{\sqrt{74}} \approx 0,592...$
$0,6 \neq 0,592$. Les rapports ne sont pas égaux.
Les droites (IJ) et (BC) ne sont pas parallèles.

1) Calcul de AS :
Le triangle ABS est rectangle en B.
$AS^2 = AB^2 + BS^2 = 2,5^2 + 6^2 = 6,25 + 36 = 42,25$.
$AS = \sqrt{42,25} = $ $6,5$ m.

2) Calcul de SM et SN :
$SM = AS - AM = 6,5 - 1,95 = $ $4,55$ m.
$SN = BS - BN = 6 - 1,8 = $ $4,2$ m.

3) Parallélisme (MN) et (AB) :
On compare les rapports dans le triangle SAB : $\dfrac{SM}{SA}$ et $\dfrac{SN}{SB}$.
$\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{4,55}{6,5} = 0,7$.
$\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{4,2}{6} = 0,7$.
Les rapports sont égaux. D'après la réciproque de Thalès, (MN) // (AB).