Exercices sur Thalès et Pythagore

1. Figure : (À main levée)

2. Nature du triangle :
Le plus grand côté est [DE] avec $DE = 10,4$.
Calculons le carré du plus grand côté : $DE^2 = 10,4^2 = 108,16$.
Calculons la somme des carrés des deux autres côtés :
$EF^2 + DF^2 = 9,6^2 + 4^2 = 92,16 + 16 = 108,16$.
On constate que $DE^2 = EF^2 + DF^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F.

3. Aire du triangle :
Puisque le triangle est rectangle en F, les côtés de l'angle droit sont [EF] et [DF].
Aire(DEF) = $\dfrac{EF \times DF}{2} = \dfrac{9,6 \times 4}{2} = \dfrac{38,4}{2} = $ $19,2$ cm².

On compare les rapports des longueurs des côtés correspondants.
Calculons d'une part : $\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{3}{7,5} = 0,4$.
Calculons d'autre part : $\dfrac{CB}{CD} = \dfrac{2,4}{6} = 0,4$.
On constate que $\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{CB}{CD}$.

De plus, les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

Le mur étant perpendiculaire au sol, le triangle formé par le mur, le sol et l'échelle est rectangle.
L'hypoténuse est la longueur de l'échelle : $3,5$ m.
Un côté de l'angle droit mesure $1,2$ m (distance pied-mur).
Soit $h$ la hauteur cherchée.

D'après le théorème de Pythagore :
$h^2 + 1,2^2 = 3,5^2$
$h^2 + 1,44 = 12,25$
$h^2 = 12,25 - 1,44 = 10,81$
$h = \sqrt{10,81} \approx 3,287...$ m

Arrondi au cm ($0,01$ m) : $h \approx 3,29$ m.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AD) et (BC) sont sécantes en O.
C'est une configuration de Thalès (papillon).

D'après le théorème de Thalès :
$\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{OB}{OC} = \dfrac{AB}{CD}$
On remplace par les valeurs : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{OB}{4} = \dfrac{AB}{6}$

1. Calcul de OB :
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{OB}{4} \implies OB = \dfrac{3 \times 4}{5} = \dfrac{12}{5} = $ $2,4$ cm.

2. Calcul de AB :
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{AB}{6} \implies AB = \dfrac{3 \times 6}{5} = \dfrac{18}{5} = $ $3,6$ cm.