Exercices sur les Fonctions Linéaires

1a) On calcule les quotients $\dfrac{m}{n}$ pour $n \neq 0$ :
$\dfrac{12}{-4} = -3$ ; $\dfrac{-6}{2} = -3$ ; $\dfrac{-9}{3} = -3$.
Le quotient est constant et égal à $-3$. C'est donc un tableau de proportionnalité.

1b) Le coefficient pour passer de $n$ à $m$ est $a = -3$. On a $m = -3n$.
Le coefficient pour passer de $m$ à $n$ est $b = \dfrac{n}{m} = \dfrac{-4}{12} = -\dfrac{1}{3}$. On a $n = -\dfrac{1}{3}m$.

1c) $a = -3$ et $b = -\dfrac{1}{3}$. On remarque que $a \times b = (-3) \times (-\dfrac{1}{3}) = 1$.
Les nombres $a$ et $b$ sont inverses l'un de l'autre.

2) On a $f(x) = -3x$ et $g(x) = -\dfrac{1}{3}x$.
Pour tracer $f(x)$ (en rouge), on utilise le point $(1, -3)$.
Pour tracer $g(x)$ (en bleu), on utilise le point $(3, -1)$.

3) Lecture graphique (voir lignes pointillées) :
- Si $n = -1$ (abscisse), on lit $m = 3$ (ordonnée) sur la droite rouge.
- Si $m = 3$ (ordonnée), on lit $n = -9$ (abscisse) sur la droite bleue.

4) Par le calcul :
- $m = f(43) = -3 \times 43 = $ $-129$.
- $n = g(-78) = -\dfrac{1}{3} \times (-78) = $ $26$.

Ce sont $3$ fonctions linéaires, leurs représentations sont des droites passant par l'origine O(0, 0).

Pour tracer $d_f$ (rouge) : $f(x) = x$. On place le point $A(1, 1)$.
Pour tracer $d_g$ (bleu) : $g(x) = \dfrac{5}{2}x = 2,5x$. On place le point $B(2, 5)$.
Pour tracer $d_h$ (vert) : $h(x) = -\dfrac{3}{7}x$. On place le point $C(7, -3)$.

Les deux droites $d_1$ et $d_2$ passent par l'origine, elles représentent donc des fonctions linéaires de la forme $y = ax$.

Pour $d_1$ (bleue) / fonction $f$ :
On lit un point sur la droite, par exemple $A(2, 1)$.
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{y_A}{x_A} = \dfrac{1}{2}$.
Donc $f(x) = \dfrac{1}{2}x$.

Pour $d_2$ (rouge) / fonction $g$ :
On lit un point sur la droite, par exemple $B(2, -2)$.
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{y_B}{x_B} = \dfrac{-2}{2} = -1$.
Donc $g(x) = -x$.

1) Salaire horaire :
$\dfrac{900 \text{ F}}{15 \text{ h}} = $ $60$ F/h.

2) Relation :
Le salaire $y$ est proportionnel aux heures $x$ avec un coefficient de $60$.
Donc $y = 60x$.

3) Représentation graphique :
On trace la droite $y=60x$ en utilisant l'origine O(0, 0) et un autre point, par exemple $x=10$, $y=600$.

4) Lecture graphique et vérification :
- Pour $x=10$h (ligne rouge), on lit graphiquement $y = 600$ F.
Calcul : $y = 60 \times 10 = 600$ F.
- Pour $y=720$F (ligne bleue), on lit graphiquement $x = 12$ h.
Calcul : $720 = 60x$ donc $x = \dfrac{720}{60} = 12$ h.