{{NOM_CHAPITRE_FR}}
I - La soustraction
Définition 1 : On appelle opposé du nombre $a$ le nombre noté $-a$ tel que : $a+(-a)=0$.
Remarque : Dans ce cas, le signe "$-$" n'est pas la marque d'un nombre négatif. En effet, d'après la définition, l'opposé du nombre $-2$ est le nombre $-(-2)$. Or, $-2+2=0$ donc on en déduit que $-(-2)=2$ est un nombre positif.
Définition 2 : On appelle soustraction de $a$ par $b$ l'opération qui additionne le nombre $a$ et l'opposé du nombre $b$.
Application : Regrouper des termes afin de réduire une expression.
II - La multiplication
Propriété 1 : La multiplication est prioritaire sur l'addition (et la soustraction).
- La multiplication est distributive sur l'addition (et la soustraction).
- $k \times (a+b) = k \times a + k \times b = ka+kb$
- $(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$
Application : Développer et réduire une expression.
III - La division
Définition 3 : On appelle inverse du nombre $a \neq 0$ le nombre noté $\dfrac{1}{a}$ tel que : $a \times \dfrac{1}{a} = 1$.
Remarque : L'inverse du nombre $\dfrac{a}{b}$ ($a \neq 0$ et $b \neq 0$) est le nombre $\dfrac{b}{a}$. En effet, $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = \dfrac{a \times b}{b \times a} = 1$.
Propriété 2 : Pour tout nombre $a$, $a \times 0 = 0 \times a = 0$.
Conséquence : Le nombre $0$ n'a pas d'inverse.
Démonstration : Démontrer que $0$ n'a pas d'inverse.
Raisonnement par l'absurde: Si $\dfrac{1}{0}$ existe alors, d'après la définition 3, $0 \times \dfrac{1}{0} = 1$.
Or, d'après la propriété 2, pour tout nombre $a$, $0 \times a = 0$ donc, en particulier, si $a = \dfrac{1}{0}$ on obtient $0 \times \dfrac{1}{0} = 0$.
Donc on obtient que $0=1$. Ce résultat est absurde donc l'hypothèse de départ est fausse.
Conclusion : $\dfrac{1}{0}$ n'existe pas.
Définition 4 : On appelle division de $a$ par $b$ ($b \neq 0$), l'opération qui multiplie le nombre $a$ et l'inverse du nombre non nul $b$.
Conséquence : Le nombre $0$ n'a pas d'inverse donc on ne peut pas diviser par $0$.
IV - Les fractions
Propriété 3 :
- Pour tout nombre $a \neq 0$, $-\dfrac{1}{a} = \dfrac{-1}{a} = \dfrac{1}{-a}$
- Pour tous nombres $b \neq 0$, $c \neq 0$, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times c}{b \times c}$
- Pour tous nombres $b \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d}{b \times d} + \dfrac{b \times c}{b \times d} = \dfrac{a \times d + b \times c}{b \times d}$
- Pour tous nombres $b \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$. En particulier, $a \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a}{1} \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times b}{c}$
- Pour tous nombres $b \neq 0$, $c \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} / \dfrac{c}{d} = \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
V - Les puissances
Définition 5 : Pour tout nombre $a$ différent de $0$ et tout entier naturel $n$, on définit le nombre $\boldsymbol{a^{n}}$ :
Si $n=0$ alors $a^{0}=1$
Si $n=1$ alors $a^{1}=a$
Si $n>1$ alors $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ facteurs $a$)
Convention : L'exposant est toujours prioritaire sur les autres opérateurs.
Définition 6 : Pour tout nombre $a$ différent de $0$ et tout entier relatif $n$, on définit le nombre $\boldsymbol{a^{-n}}$ :
C'est-à-dire que $a^{-n}$ est l'inverse de $a^{n}$.
Propriété 4 : Pour tous nombres $a$ et $b$ différents de $0$, pour tous entiers relatifs $m$ et $n$ :
- $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
- $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$
- $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
- $a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$
- $\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$
{{NOM_CHAPITRE_EN}}
I - Subtraction
Definition 1: The opposite of a number $a$ is the number denoted $-a$ such that: $a+(-a)=0$.
Note: In this case, the "$-$" sign does not indicate a negative number. Indeed, according to the definition, the opposite of the number $-2$ is the number $-(-2)$. Since $-2+2=0$, we deduce that $-(-2)=2$ is a positive number.
Definition 2: The subtraction of $b$ from $a$ is the operation that adds the number $a$ and the opposite of the number $b$.
Application: Grouping terms to simplify an expression.
II - Multiplication
Property 1: Multiplication takes precedence over addition (and subtraction).
- Multiplication is distributive over addition (and subtraction).
- $k \times (a+b) = k \times a + k \times b = ka+kb$
- $(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$
Application: Expanding and simplifying an expression.
III - Division
Definition 3: The reciprocal (or multiplicative inverse) of a number $a \neq 0$ is the number denoted $\dfrac{1}{a}$ such that: $a \times \dfrac{1}{a} = 1$.
Note: The reciprocal of the number $\dfrac{a}{b}$ ($a \neq 0$ and $b \neq 0$) is the number $\dfrac{b}{a}$. Indeed, $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = \dfrac{a \times b}{b \times a} = 1$.
Property 2: For any number $a$, $a \times 0 = 0 \times a = 0$.
Consequence: The number $0$ has no reciprocal.
Proof: Prove that $0$ has no reciprocal.
Proof by contradiction: If $\dfrac{1}{0}$ exists, then according to definition 3, $0 \times \dfrac{1}{0} = 1$.
However, according to property 2, for any number $a$, $0 \times a = 0$. Therefore, in particular, if $a = \dfrac{1}{0}$ we obtain $0 \times \dfrac{1}{0} = 0$.
Thus, we obtain $0=1$. This result is absurd, so the initial assumption is false.
Conclusion: $\dfrac{1}{0}$ does not exist.
Definition 4: The division of $a$ by $b$ ($b \neq 0$) is the operation that multiplies the number $a$ and the reciprocal of the non-zero number $b$.
Consequence: The number $0$ has no reciprocal, so we cannot divide by $0$.
IV - Fractions
Property 3:
- For any number $a \neq 0$, $-\dfrac{1}{a} = \dfrac{-1}{a} = \dfrac{1}{-a}$
- For any numbers $b \neq 0$, $c \neq 0$, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times c}{b \times c}$
- For any numbers $b \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d}{b \times d} + \dfrac{b \times c}{b \times d} = \dfrac{a \times d + b \times c}{b \times d}$
- For any numbers $b \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$. In particular, $a \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a}{1} \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times b}{c}$
- For any numbers $b \neq 0$, $c \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} / \dfrac{c}{d} = \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
V - Powers
Definition 5: For any number $a$ not equal to $0$ and any natural number $n$, we define the number $\boldsymbol{a^{n}}$:
If $n=0$ then $a^{0}=1$
If $n=1$ then $a^{1}=a$
If $n>1$ then $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ factors of $a$)
Convention: The exponent always takes precedence over other operators.
Definition 6: For any number $a$ not equal to $0$ and any integer $n$, we define the number $\boldsymbol{a^{-n}}$:
That is, $a^{-n}$ is the reciprocal of $a^{n}$.
Property 4: For any numbers $a$ and $b$ not equal to $0$, for any integers $m$ and $n$:
- $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
- $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$
- $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
- $a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$
- $\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$
{{NOM_CHAPITRE_ES}}
I - La resta
Definición 1: Se llama opuesto del número $a$ al número denotado $-a$ tal que: $a+(-a)=0$.
Nota: En este caso, el signo "$-$" no indica un número negativo. En efecto, según la definición, el opuesto del número $-2$ es el número $-(-2)$. Como $-2+2=0$, se deduce que $-(-2)=2$ es un número positivo.
Definición 2: Se llama resta (o sustracción) de $b$ a $a$ a la operación que suma el número $a$ y el opuesto del número $b$.
Aplicación: Agrupar términos para reducir una expresión.
II - La multiplicación
Propiedad 1: La multiplicación tiene prioridad sobre la suma (y la resta).
- La multiplicación es distributiva respecto de la suma (y de la resta).
- $k \times (a+b) = k \times a + k \times b = ka+kb$
- $(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$
Aplicación: Desarrollar y reducir una expresión.
III - La división
Definición 3: Se llama inverso (o recíproco) del número $a \neq 0$ al número denotado $\dfrac{1}{a}$ tal que: $a \times \dfrac{1}{a} = 1$.
Nota: El inverso del número $\dfrac{a}{b}$ ($a \neq 0$ y $b \neq 0$) es el número $\dfrac{b}{a}$. En efecto, $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = \dfrac{a \times b}{b \times a} = 1$.
Propiedad 2: Para cualquier número $a$, $a \times 0 = 0 \times a = 0$.
Consecuencia: El número $0$ no tiene inverso.
Demostración: Demostrar que $0$ no tiene inverso.
Demostración por reducción al absurdo: Si $\dfrac{1}{0}$ existe, entonces según la definición 3, $0 \times \dfrac{1}{0} = 1$.
Sin embargo, según la propiedad 2, para cualquier número $a$, $0 \times a = 0$ por lo que, en particular, si $a = \dfrac{1}{0}$ obtenemos $0 \times \dfrac{1}{0} = 0$.
Entonces obtenemos que $0=1$. Este resultado es absurdo, luego la hipótesis inicial es falsa.
Conclusión: $\dfrac{1}{0}$ no existe.
Definición 4: Se llama división de $a$ entre $b$ ($b \neq 0$), a la operación que multiplica el número $a$ y el inverso del número distinto de cero $b$.
Consecuencia: El número $0$ no tiene inverso por lo que no se puede dividir por $0$.
IV - Las fracciones
Propiedad 3:
- Para cualquier número $a \neq 0$, $-\dfrac{1}{a} = \dfrac{-1}{a} = \dfrac{1}{-a}$
- Para cualesquiera números $b \neq 0$, $c \neq 0$, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times c}{b \times c}$
- Para cualesquiera números $b \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d}{b \times d} + \dfrac{b \times c}{b \times d} = \dfrac{a \times d + b \times c}{b \times d}$
- Para cualesquiera números $b \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$. En particular, $a \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a}{1} \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times b}{c}$
- Para cualesquiera números $b \neq 0$, $c \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} / \dfrac{c}{d} = \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
V - Las potencias
Definición 5: Para cualquier número $a$ distinto de $0$ y cualquier número natural $n$, se define el número $\boldsymbol{a^{n}}$:
Si $n=0$ entonces $a^{0}=1$
Si $n=1$ entonces $a^{1}=a$
Si $n>1$ entonces $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ factores $a$)
Convención: El exponente siempre tiene prioridad sobre los demás operadores.
Definición 6: Para cualquier número $a$ distinto de $0$ y cualquier número entero relativo $n$, se define el número $\boldsymbol{a^{-n}}$:
Es decir, $a^{-n}$ es el inverso de $a^{n}$.
Propiedad 4: Para cualesquiera números $a$ y $b$ distintos de $0$, para cualesquiera números enteros relativos $m$ y $n$:
- $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
- $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$
- $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
- $a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$
- $\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$