ÉVALUATION DE MATHÉMATIQUES

Probabilités et Droites du plan

Classe 2nde

Durée 45 minutes

Calculatrice autorisée

Exercice 1 : Probabilités (10 points)

Une entreprise possède trois usines de fabrication d'alarmes : Bordeaux, Grenoble et Lille. Voici les données relevées sur la production :

	Défectueuses	En bon état	Total
Usine de Bordeaux	160		3360
Usine de Grenoble			1266
Usine de Lille	154
Total	380	7900

Compléter le tableau ci-dessus.
On prend une alarme au hasard dans la production de mai 2010.
On considère les évènements suivants :
- $B$ : "l'alarme provient de l'usine de Bordeaux" ;
- $G$ : "l'alarme provient de l'usine de Grenoble" ;
- $L$ : "l'alarme provient de l'usine de Lille" ;
- $D$ : "l'alarme est défectueuse".
a) Calculer la probabilité de $B$, arrondie au millième.

b) Calculer la probabilité de $D$, en pourcentage arrondi au dixième.

c) Définir par une phrase l'évènement $B \cap D$, puis calculer $p(B \cap D)$ sous forme de fraction irréductible.

d) Calculer $p(B \cup D)$ arrondie au centième.

1. Compléter le tableau.

Explications des calculs pas à pas :

Total général : $380 + 7900 = \mathbf{8280}$.
Total usine de Lille : $8280 - (3360 + 1266) = \mathbf{3654}$.
Défectueuses Grenoble : $380 - (160 + 154) = \mathbf{66}$.
En bon état Bordeaux : $3360 - 160 = \mathbf{3200}$.
En bon état Grenoble : $1266 - 66 = \mathbf{1200}$.
En bon état Lille : $3654 - 154 = \mathbf{3500}$.

	Défectueuses	En bon état	Total
Usine de Bordeaux	160	3200	3360
Usine de Grenoble	66	1200	1266
Usine de Lille	154	3500	3654
Total	380	7900	8280

2. On est dans une situation d'équiprobabilité. $p(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$. L'univers comporte 8280 issues possibles.

a) Probabilité de $B$ : Il y a 3360 alarmes de Bordeaux. $$ p(B) = \dfrac{3360}{8280} = \dfrac{336}{828} \approx 0,4057... $$ Arrondie au millième : $p(B) \approx 0,406$.

b) Probabilité de $D$ : Il y a 380 alarmes défectueuses. $$ p(D) = \dfrac{380}{8280} = \dfrac{38}{828} \approx 0,04589... $$ En pourcentage : $p(D) \approx 4,6 \%$.

c) Évènement $B \cap D$ : L'intersection $\cap$ se traduit par "et".
Phrase : "L'alarme provient de l'usine de Bordeaux ET elle est défectueuse."
D'après le tableau, il y a 160 alarmes qui vérifient ces deux critères. $$ p(B \cap D) = \dfrac{160}{8280} = \dfrac{16}{828} = \dfrac{4}{207} $$ Fraction irréductible : $\dfrac{4}{207}$.

d) Calcul de $p(B \cup D)$ : Formule : $p(B \cup D) = p(B) + p(D) - p(B \cap D)$. $$ p(B \cup D) = \dfrac{3360}{8280} + \dfrac{380}{8280} - \dfrac{160}{8280} = \dfrac{3580}{8280} \approx 0,432... $$ Arrondie au centième : $p(B \cup D) \approx 0,43$.

Exercice 2 : Droites et vecteurs (10 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

a) Tracer la droite $(d)$ passant par le point $A(1 ; 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.

b) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$.

c) On donne les points $E(14 ; -7)$ et $F(22 ; -12)$. Les droites $(EF)$ et $(d)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $x - 2y - 3 = 0$.

a) Tracer la droite $(\Delta)$.

b) Déterminer un vecteur directeur de $(\Delta)$.

1. b) Équation cartésienne de $(d)$ :

Soit $M(x ; y)$ un point quelconque du plan. $M \in (d)$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ sont colinéaires.

En utilisant la relation de colinéarité $x_{\vec{AM}} y_{\vec{u}} - y_{\vec{AM}} x_{\vec{u}} = 0$, on obtient : $$(x - 1) \times (-2) - (y - 2) \times 3 = 0$$ $$-2x + 2 - 3y + 6 = 0$$ $$-2x - 3y + 8 = 0$$

Une équation cartésienne de $(d)$ est donc : $-2x - 3y + 8 = 0$ (ou $2x + 3y - 8 = 0$).

1. c) Les droites $(EF)$ et $(d)$ sont-elles parallèles ?

La droite $(d)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
Le vecteur directeur de $(EF)$ est $\vec{EF}\begin{pmatrix} 22 - 14 \\ -12 - (-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \end{pmatrix}$.

On teste la colinéarité de $\vec{u}$ et $\vec{EF}$ avec la relation $x_{\vec{u}} y_{\vec{EF}} - y_{\vec{u}} x_{\vec{EF}}$ : $$3 \times (-5) - (-2) \times 8 = -15 + 16 = 1$$

Comme $1 \neq 0$, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc les droites $(EF)$ et $(d)$ ne sont pas parallèles.

2. b) Vecteur directeur de $(\Delta)$ :

L'équation est $1x - 2y - 3 = 0$. Avec la forme $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{v}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.

Ici $b = -2$ et $a = 1$, donc un vecteur directeur de $(\Delta)$ est : $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Exercice 1 : Probabilités (10 points)

Exercice 2 : Droites et vecteurs (10 points)

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