D.S de MATHÉMATIQUES

Fonctions affines et Vecteurs

Date : 4 Mars

Durée : 0h 50min

Calculatrice autorisée

Exercice 1 (10 points)

Soit la fonction affine f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x - 3$
1. Représenter graphiquement dans un repère orthonormé sur votre copie.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de signes de la fonction f sur $\mathbb{R}$.
Soit g une fonction affine telle que $g(-1) = 5$ et $g(2) = -4$.
1. Déterminer par le calcul l'expression algébrique de $g(x)$.
2. Tracer la droite $(d_g)$ représentative de la fonction g dans le même repère que f.
On note I le point d'intersection des droites représentatives de f et g. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point I.

CORRIGÉ: FONCTION AFFINE ET VECTEURS

Exercice 1 (10 points)

1. Soit $f(x) = 2x - 3$

a) Comme f est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite $(d_f)$. Déterminons les coordonnées de deux points appartenant à cette droite :

• Pour $x = 0 : f(0) = 2(0) - 3 = -3$. La droite passe par le point $A(0 ; -3)$.
• Pour $x = 2 : f(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$. La droite passe par le point $B(2 ; 1)$.

b) Le coefficient directeur de f est $a = 2$. Comme $a > 0$, la fonction f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

$x$

$-\infty$$+\infty$

$f(x)$

c) On cherche la valeur d'annulation : $2x - 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$.

Le coefficient directeur $a = 2$ est positif, donc la fonction est d'abord négative puis positive.

$x$

$-\infty$$\dfrac{3}{2}$$+\infty$

$f(x)$

$-$$0$$+$

2. Soit g une fonction affine telle que $g(-1) = 5$ et $g(2) = -4$

a) Une fonction affine g est de la forme $g(x) = ax + b$ où a et b sont deux réels. Le système d'équations est :

\[ \begin{cases} g(-1) = 5 & \iff -a + b = 5 \\ g(2) = -4 & \iff 2a + b = -4 \end{cases} \]

Par soustraction de la première ligne à la deuxième, on obtient :
$(2a + b) - (-a + b) = -4 - 5 \iff 3a = -9$
donc $a = -3$.

En remplaçant a par $-3$ dans la première équation :
$-(-3) + b = 5 \iff 3 + b = 5$
donc $b = 2$.

L'expression algébrique de la fonction est donc :
$g(x) = -3x + 2$.

b) La droite $(d_g)$ passe par l'ordonnée à l'origine $2$ et par le point $(2 ; -4)$.

3. On résout $f(x) = g(x) \iff 2x - 3 = -3x + 2 \iff 5x = 5 \iff x = 1$.

L'ordonnée est $f(1) = 2(1) - 3 = -1$. Le point d'intersection est $I(1 ; -1)$.

Exercice 2 (10 points)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1;2)$, $B(4;1)$, $C(5;4)$.

Placer les points A, B, C sur votre copie puis calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Déterminer par le calcul les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. Justifier à l'aide d'une égalité vectorielle.
Soit E le point tel que E soit l'image du point B par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$. Calculer les coordonnées de E et le placer sur la figure.
Soit F un point de coordonnées $(x;-1)$. Calculer $x$ de façon à ce que les points A, B, F soient alignés.

Exercice 2 (10 points)

1. Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. Donc $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$.

2. ABCD est un parallélogramme si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

Soit $D(x_D ; y_D)$. On a $\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$.

\[ \begin{cases} 5 - x_D = 3 \\ 4 - y_D = -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = 2 \\ y_D = 5 \end{cases} \]

donc $D(2 ; 5)$.

3. $E$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$ signifie que $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC}$.

Calculons d'abord les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ :
$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

donc $\begin{pmatrix} x_E - x_B \\ y_E - y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} x_E - 4 \\ y_E - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x_E = 8 \\ y_E = 3 \end{cases}$.

Donc $E(8 ; 3)$.

4. A, B et F sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont colinéaires.

$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AF} \begin{pmatrix} x_F - x_A \\ y_F - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 1 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 1 \\ -3 \end{pmatrix}$.

La condition de colinéarité est : $x_{\overrightarrow{AB}} \times y_{\overrightarrow{AF}} - y_{\overrightarrow{AB}} \times x_{\overrightarrow{AF}} = 0$

$3 \times (-3) - (-1) \times (x - 1) = 0 \iff -9 + x - 1 = 0 \iff x = 10$.

Donc $x = 10$.