D.S de MATHÉMATIQUES

Géométrie et Pourcentages

Date : 14 Janvier

Durée : 0h 45min

Calculatrice autorisée

Exercice 1 (13 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; I, J)$. La figure sera complétée au fur et à mesure.

Placer les points $A(3;5)$, $B(5;0)$, $C(-1;-1)$ et $D(-3;4)$ dans le repère.
Calculer les coordonnées du milieu $K$ du segment $[AC]$ et du milieu $L$ du segment $[BD]$.
Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier.
Calculer les distances $AB$, $BC$ et $AC$.
Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier.

Exercice 2 (7 points)

Compléter la facture suivante (arrondis au centime) :

Désignation	Prix HT (€)	Taux TVA	Montant TVA	Prix TTC
Clavier Sans Fil	45,00	20%	...	...
Souris Optique	...	20%	4,40	...
Clé USB 64Go	15,50	...	...	18,60

Un article subit une hausse de 25%, suivie immédiatement d'une baisse de 20%. Le prix final de l'article après ces deux évolutions est de 120 €.
1. Quel était le prix initial de l'article avant la hausse ? Justifier par un calcul.
2. Calculer le taux d'évolution global pour ces deux évolutions successives. Que peut-on en conclure ?

1. Tableau de facturation

Désignation	HT (€)	Taux	TVA (€)	TTC (€)
Clavier	45,00	20%	9,00	54,00
Souris	22,00	20%	4,40	26,40
Clé USB	15,50	20%	3,10	18,60

2. Évolutions successives

a) Calcul du prix initial $P_i$ :

Soit $t_1 = 0,25$ (hausse de $25\%$) et $t_2 = -0,20$ (baisse de $20\%$).
Le prix final $P_f$ s'exprime en fonction du prix initial $P_i$ par la relation :

\[P_f = P_i \times \left(1 + t_1\right) \times \left(1 + t_2\right)\]

\[120 = P_i \times \left(1 + 0,25\right) \times \left(1 - 0,20\right)\]

\[120 = P_i \times 1,25 \times 0,80\]

\[120 = P_i \times 1\]

donc $P_i = 120$ €.

b) Calcul du taux d'évolution global $t_g$ :

L'évolution globale vérifie la relation :

\[1 + t_g = \left(1 + t_1\right) \times \left(1 + t_2\right)\]

\[1 + t_g = \left(1 + 0,25\right) \times \left(1 - 0,20\right)\]

\[1 + t_g = 1,25 \times 0,80\]

\[1 + t_g = 1\]

\[t_g = 0\]

donc Le taux d'évolution global est de $0\%$. On peut en conclure que le prix final est identique au prix initial après ces deux variations.

Exercice 1 (13 points)

Exercice 2 (7 points)

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