D.S de MATHÉMATIQUES

1. Ensemble de définition

La courbe commence à $x=-3$ et finit à $x=4$. Donc $\mathcal{D}_f = [-3 ; 4]$.

2. Images

• Image de 0 : C'est l'ordonnée à l'origine, on lit $1,2$.
• Image de 2 : On lit $-0,8$.
• $f(-1)$ : On lit $1,6$.

3. Antécédents de 0

Ce sont les abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses. On lit $S = \{-2 ; 1 ; 3\}$.

4. Résolution de $f(x) \ge 0$

La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses sur $[-2 ; 1]$ et sur $[3 ; 4]$.
$S = [-2 ; 1] \cup [3 ; 4]$.

5. Tableau de variation

6. Tableau de signes

1. Image de $\displaystyle\frac{5}{2}$

$g\left(\displaystyle\frac{5}{2}\right) = \left(\displaystyle\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \times \displaystyle\frac{5}{2} + 1$

$= \displaystyle\frac{25}{4} - \displaystyle\frac{20}{2} + 1 = \displaystyle\frac{25}{4} - \displaystyle\frac{40}{4} + \displaystyle\frac{4}{4}$

$= \displaystyle-\frac{11}{4}$

2. Calcul de $g(\sqrt{3})$

$g(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} + 1$

$= 3 - 4\sqrt{3} + 1$

$= 4 - 4\sqrt{3}$

3. Point $A(2 ; -3)$

On calcule l'image de l'abscisse $x=2$ :

$g(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.

On trouve exactement l'ordonnée du point $A$.

Le point $A$ appartient à la courbe.

1. $f(x) = \displaystyle\frac{7}{x - 4}$

Le dénominateur ne doit pas être nul : $x - 4 \neq 0 \iff x \neq 4$.

$\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{4\}$

2. $g(x) = \sqrt{x + 3}$

L'expression sous la racine doit être positive ou nulle : $x + 3 \ge 0 \iff x \ge -3$.

$\mathcal{D}_g = [-3 ; +\infty[$

1. Comparaisons

• $m(-4)$ et $m(-3)$ : Sur $[-5 ; -2]$, $m$ est croissante. Comme $-4 < -3$, alors $m(-4) < m(-3)$.
• $m(0,1)$ et $m(7)$ : $m(0,1)$ est entre 1 et 7. $m(7)$ est entre 3 et 7. Les intervalles se chevauchent. On ne peut pas conclure.
• $m(-3)$ et $m(0)$ : $m(0)=1$. $m(-3)$ est compris entre -3 et 2. On ne peut pas conclure (cela pourrait être 1.5 ou 0.5 par exemple).
• $m(-4)$ et $m(6)$ : Sur le premier intervalle, max=2, donc $m(-4) \le 2$. Sur le dernier, min=3, donc $m(6) \ge 3$. Ainsi $m(-4) < m(6)$.

2. Maximum sur $[-2 ; 5]$

Sur cet intervalle, la fonction part de 2, descend à 1, puis remonte à 7.

Le maximum est 7, atteint en $x=5$.