Exercice 1 : Ensembles de nombres (6 points)
Pour chacun des nombres suivants, en utilisant seulement la définition des ensembles, donner le plus petit ensemble de nombres ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$ ou $\mathbb{Q}$) auquel il appartient. Chaque réponse devra être justifiée.
a. $A = -\frac{42}{6}$
b. $B = \frac{11}{7}$
c. $C = \sqrt{49}$
d. $D = \frac{3}{8}$
a. $A = -\frac{42}{6} = -7$. C'est un entier relatif. Le plus petit ensemble est donc $\mathbb{Z}$ (défini par $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$).
b. La fraction $\frac{11}{7}$ est irréductible et son dénominateur n'est pas une puissance de 2 ou 5. La division ne se termine pas. Le plus petit ensemble est $\mathbb{Q}$ (défini par $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*\}$).
c. $C = \sqrt{49} = 7$. C'est un entier naturel. Le plus petit ensemble est $\mathbb{N}$ (défini par $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$).
d. $D = \frac{3}{8} = 0,375 = \frac{375}{10^3}$. Le plus petit ensemble est $\mathbb{D}$ (défini par $\mathbb{D} = \{\frac{a}{10^n} \mid a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$).
Exercice 2 : Calcul littéral (4 points)
On considère l'expression littérale $E = 3a^2 - 5b + 2c$. Calculer la valeur de E pour les jeux de valeurs suivants :
a. $a=2$, $b=1$ et $c=4$
b. $a=-3$, $b=-2$ et $c=5$
a. $E = 3 \times (2)^2 - 5 \times (1) + 2 \times (4) = 3 \times 4 - 5 + 8 = 12 - 5 + 8 = $ 15.
b. $E = 3 \times (-3)^2 - 5 \times (-2) + 2 \times (5) = 3 \times 9 + 10 + 10 = 27 + 20 = $ 47.
Exercice 3 : Développer et factoriser (4 points)
1. Développer et réduire les expressions suivantes :
$A = (2x-3)(x+5)$
$B = 4x - (x-1)(x+2)$
2. Factoriser au maximum les expressions suivantes :
$C = 7x - 21x^2$
$D = (x-5)(2x+1) - (x-5)(x-3)$
1. Développer :
$A = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = $ $2x^2 + 7x - 15$
$B = 4x - (x^2 + 2x - x - 2) = 4x - (x^2+x-2) = $ $-x^2 + 3x + 2$
2. Factoriser :
$C = $ $7x(1-3x)$
$D = (x-5)[(2x+1) - (x-3)] = (x-5)(2x+1-x+3) = $ $(x-5)(x+4)$
Exercice 4 : Calculs de fractions (3 points)
Calculer les expressions suivantes et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible. Détailler les étapes du calcul.
$G = \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{3}\right) \div \frac{5}{6}$
$H = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} \times \frac{5}{2}$
$G = \left(\frac{3}{12} - \frac{8}{12}\right) \div \frac{5}{6} = -\frac{5}{12} \times \frac{6}{5} = -\frac{5 \times 6}{12 \times 5} = -\frac{6}{12} = $ $-\frac{1}{2}$
$H = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{7}{3} - \frac{2 \times 5}{3} = \frac{7}{3} - \frac{10}{3} = \frac{-3}{3} = $ -1
Exercice 5 : Calculs de puissances (3 points)
Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous la forme d'une fraction irréductible ou en écriture scientifique.
$A = \frac{3^4 \times 3^{-2}}{3^5}$
$B = \frac{2 \times 10^3 \times 15 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}}$
$A = \frac{3^{4-2}}{3^5} = \frac{3^2}{3^5} = 3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = $ $\frac{1}{27}$
$B = \frac{2 \times 15}{6} \times \frac{10^3 \times 10^{-5}}{10^{-4}} = \frac{30}{6} \times 10^{3-5-(-4)} = 5 \times 10^2 = $ 500