a) $(2x+1)(x-3)-(3x+2)(2x+1)=0$
$(2x+1)[(x-3)-(3x+2)]=0$
$(2x+1)(x-3-3x-2)=0$
$(2x+1)(-2x-5)=0$
$2x+1=0$ ou $-2x-5=0$
$x=-\frac{1}{2}$ ou $x=-\frac{5}{2}$
$\boldsymbol{S=\{-\frac{1}{2} ; -\frac{5}{2}\}}$
b) $\frac{-x-1}{2x+3}=0$
VI: $2x+3=0$ d'où $x=-\frac{3}{2}$.
Racine du numérateur: $-x-1=0 \implies x=-1$.
$x=-1 \neq -\frac{3}{2}$. Donc $\boldsymbol{S=\{-1\}}$.
c) $x^2 < 16$
$x^2-16 < 0$
$(x-4)(x+4) < 0$
Racines: $x-4=0$ ou $x+4=0 \implies x=4$ ou $x=-4$.
Tableau de signes :
$\boldsymbol{S=]-4;4[}$.
d) $\frac{x-1}{x+1} \le \frac{x-3}{x-2}$
VI: $x+1=0 \implies x=-1$ et $x-2=0 \implies x=2$.
$\frac{x-1}{x+1} - \frac{x-3}{x-2} \le 0$
$\frac{(x-1)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-2)} \le 0$
$\frac{x^2-2x-x+2-(x^2-3x+x-3)}{(x+1)(x-2)} \le 0$
$\frac{x^2-3x+2-x^2+2x+3}{(x+1)(x-2)} \le 0$
$\frac{-x+5}{(x+1)(x-2)} \le 0$
Racine du numérateur: $-x+5=0 \implies x=5$.
Tableau de signes :
$\boldsymbol{S=]-1;2[ \cup [5;+\infty[}$.
e) $x+2 = 4-x^2$
$x+2 = (2-x)(2+x)$
$(x+2) \times 1 - (2-x)(x+2) = 0$
$(x+2)[1-(2-x)]=0$
$(x+2)(1-2+x)=0$
$(x+2)(-1+x)=0$
$x+2=0$ ou $-1+x=0$
$x=-2$ ou $x=1$
$\boldsymbol{S=\{-2;1\}}$.
f) $\frac{2x-1}{x-4} \ge \frac{x-4}{2x-1}$
VI: $x-4=0 \implies x=4$ et $2x-1=0 \implies x=1/2$.
$\frac{2x-1}{x-4} - \frac{x-4}{2x-1} \ge 0$
$\frac{(2x-1)(2x-1)-(x-4)(x-4)}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
$\frac{(2x-1)^2-(x-4)^2}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
$\frac{[(2x-1)-(x-4)][(2x-1)+(x-4)]}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
$\frac{(2x-1-x+4)(2x-1+x-4)}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
$\frac{(x+3)(3x-5)}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
Racines du numérateur: $x+3=0 \implies x=-3$ et $3x-5=0 \implies x=5/3$.
Tableau de signes :
$\boldsymbol{S=]-\infty;-3] \cup ]1/2;5/3] \cup ]4;+\infty[}$.
