Exercice
20 pointsRésoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
- $(2x+1)(x-3)-(3x+2)(2x+1)=0$
- $\dfrac{-x-1}{2x+3}=0$
- $x^2 < 16$
- $\dfrac{x-1}{x+1} \le \dfrac{x-3}{x-2}$
- $x+2 = 4-x^2$
- $\dfrac{2x-1}{x-4} \ge \dfrac{x-4}{2x-1}$
Corrigé de l'exercice
a) Résolution de $(2x+1)(x-3)-(3x+2)(2x+1)=0$
On factorise par le facteur commun $(2x+1)$ :
$(2x+1)[(x-3)-(3x+2)]=0$
$(2x+1)(x-3-3x-2)=0$
$(2x+1)(-2x-5)=0$
C'est une équation produit nul. Un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul :
$2x+1=0 \iff 2x=-1 \iff x=-\dfrac{1}{2}$
ou
$-2x-5=0 \iff -2x=5 \iff x=-\dfrac{5}{2}$
L'ensemble des solutions est $S=\left\{-\dfrac{5}{2} ; -\dfrac{1}{2}\right\}$.
b) Résolution de $\dfrac{-x-1}{2x+3}=0$
Valeur interdite : Le dénominateur ne doit pas être nul. $2x+3=0 \iff 2x=-3 \iff x=-\dfrac{3}{2}$. La valeur interdite est $-\dfrac{3}{2}$.
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul :
$-x-1=0 \iff -x=1 \iff x=-1$.
On vérifie que la solution trouvée n'est pas une valeur interdite : $-1 \neq -\dfrac{3}{2}$.
L'ensemble des solutions est $S=\{-1\}$.
c) Résolution de $x^2 < 16$
On se ramène à une comparaison par rapport à 0 : $x^2 - 16 < 0$.
On factorise en utilisant l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $(x-4)(x+4) < 0$.
On étudie le signe de chaque facteur et on dresse un tableau de signes :
$x-4=0 \iff x=4$ et $x+4=0 \iff x=-4$.
| $x$ | $-\infty$ | $-4$ | $4$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ${\color{red}1}x + 4$ | $-$ | $0$ | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | ||
| ${\color{red}1}x - 4$ | $-$ | | | $-$ | $0$ | $\color{red}{+}$ | ||
| Produit | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles le produit est strictement négatif (signe $-$ dans la dernière ligne).
L'ensemble des solutions est $S=]-4;4[$.
d) Résolution de $\dfrac{x-1}{x+1} \le \dfrac{x-3}{x-2}$
Valeurs interdites : $x+1=0 \iff x=-1$ et $x-2=0 \iff x=2$.
On passe tout dans le membre de gauche pour comparer à 0 :
$\dfrac{x-1}{x+1} - \dfrac{x-3}{x-2} \le 0$
On réduit au même dénominateur $(x+1)(x-2)$ :
$\dfrac{(x-1)(x-2) - (x-3)(x+1)}{(x+1)(x-2)} \le 0$
$\dfrac{(x^2-2x-x+2) - (x^2+x-3x-3)}{(x+1)(x-2)} \le 0$
$\dfrac{x^2-3x+2 - (x^2-2x-3)}{(x+1)(x-2)} \le 0$
$\dfrac{x^2-3x+2 - x^2+2x+3}{(x+1)(x-2)} \le 0$
$\dfrac{-x+5}{(x+1)(x-2)} \le 0$
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur :
$-x+5=0 \iff x=5$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $2$ | $5$ | $+\infty$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ${\color{red}-1}x + 5$ | $+$ | | | $+$ | | | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| ${\color{red}1}x + 1$ | $-$ | $0$ | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | ||
| ${\color{red}1}x - 2$ | $-$ | | | $-$ | $0$ | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | ||
| Quotient | $+$ | || | $-$ | || | $+$ | $0$ | $-$ |
On cherche où le quotient est négatif ou nul (signes $-$ ou $0$). Attention aux valeurs interdites (doubles barres).
L'ensemble des solutions est $S=]-1;2[ \cup [5;+\infty[$.
e) Résolution de $x+2 = 4-x^2$
On peut factoriser $4-x^2$ en $(2-x)(2+x)$. L'équation devient $x+2 = (2-x)(2+x)$.
On passe tout à gauche : $(x+2) - (2-x)(2+x) = 0$.
On factorise par le facteur commun $(x+2)$ (ou $(2+x)$) :
$(x+2)[1 - (2-x)] = 0$
$(x+2)(1-2+x) = 0$
$(x+2)(-1+x) = 0$
C'est une équation produit nul :
$x+2=0 \iff x=-2$
ou
$-1+x=0 \iff x=1$
L'ensemble des solutions est $S=\{-2 ; 1\}$.
f) Résolution de $\dfrac{2x-1}{x-4} \ge \dfrac{x-4}{2x-1}$
Valeurs interdites : $x-4=0 \iff x=4$ et $2x-1=0 \iff x=\dfrac{1}{2}$.
On passe tout à gauche : $\dfrac{2x-1}{x-4} - \dfrac{x-4}{2x-1} \ge 0$.
On réduit au même dénominateur $(x-4)(2x-1)$ :
$\dfrac{(2x-1)^2 - (x-4)^2}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
On factorise le numérateur avec $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ :
$\dfrac{[(2x-1)-(x-4)][(2x-1)+(x-4)]}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
$\dfrac{(2x-1-x+4)(2x-1+x-4)}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
$\dfrac{(x+3)(3x-5)}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
Racines du numérateur : $x+3=0 \iff x=-3$ et $3x-5=0 \iff x=\dfrac{5}{3}$.
| $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $1/2$ | $5/3$ | $4$ | $+\infty$ | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ${\color{red}1}x + 3$ | $-$ | $0$ | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | ||
| ${\color{red}3}x - 5$ | $-$ | | | $-$ | | | $-$ | $0$ | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | ||
| ${\color{red}1}x - 4$ | $-$ | | | $-$ | | | $-$ | | | $-$ | $0$ | $\color{red}{+}$ | ||
| ${\color{red}2}x - 1$ | $-$ | | | $-$ | $0$ | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | | | $\color{red}{+}$ | ||
| Quotient | $+$ | $0$ | $-$ | || | $+$ | $0$ | $-$ | || | $+$ |
On cherche où le quotient est positif ou nul. Attention aux valeurs interdites.
L'ensemble des solutions est $S=]-\infty;-3] \cup \left]\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{3}\right] \cup ]4;+\infty[$.