2. a) Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB} \dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A} \implies \overrightarrow{AB} \dbinom{1-(-4)}{6-3} \implies \boldsymbol{\overrightarrow{AB} \dbinom{5}{3}}$
2. b) Coordonnées de C
$C$ image de $I$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ signifie que $\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AB}$.
On sait que $I(1;0)$ (repère orthonormé). Soit $C(x_C;y_C)$.
$\overrightarrow{IC} \dbinom{x_C-1}{y_C-0}$.
On résout : $\begin{cases} x_C-1 = 5 \\ y_C = 3 \end{cases} \iff \begin{cases} x_C = 6 \\ y_C = 3 \end{cases}$. Donc $C(6;3)$.
2. c) Nature de ABCI
$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$.
$AI = \sqrt{(x_I-x_A)^2 + (y_I-y_A)^2} = \sqrt{(1-(-4))^2+(0-3)^2} = \sqrt{5^2+(-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$.
On a $\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AB}$, donc $ABCI$ est un parallélogramme.
De plus, $AB = AI$, donc ce parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur.
Conclusion : $ABCI$ est un losange.
3. a) Coordonnées de D
$D$ symétrique de $C$ par rapport à $I$ signifie que $I$ est le milieu de $[CD]$, ou encore $\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{IC}$.
$\overrightarrow{IC} \dbinom{5}{3}$. Donc $\overrightarrow{DI} \dbinom{5}{3}$.
$\begin{cases} x_I-x_D = 5 \\ y_I-y_D = 3 \end{cases} \iff \begin{cases} 1-x_D = 5 \\ 0-y_D = 3 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = -4 \\ y_D = -3 \end{cases}$. Donc $D(-4;-3)$.
3. b) Coordonnées de E
$E$ image de $B$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k=-1$ signifie que $\overrightarrow{AE} = -1 \times \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$.
Cela signifie aussi que $A$ est le milieu de $[BE]$.
$\begin{cases} x_E-x_A = -(x_B-x_A) \\ y_E-y_A = -(y_B-y_A) \end{cases} \iff \begin{cases} x_E -(-4) = -5 \\ y_E - 3 = -3 \end{cases} \iff \begin{cases} x_E = -9 \\ y_E = 0 \end{cases}$. Donc $E(-9;0)$.
3. c) Nature de BCDE
On sait que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IC}$ et que $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{DI}$ (symétrie). Donc $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{AB}$.
On sait aussi que $\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}$ (homothétie rapport -1).
Donc $\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{DI}$, ce qui signifie que $EDIA$ est un parallélogramme, d'où $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AI}$.
Or $ABCI$ est un losange (donc un parallélogramme), donc $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BC}$.
En conclusion : $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{BC}$.
Le quadrilatère $BCDE$ est donc un parallélogramme.
4. Point de concours F
Puisque $BCDE$ est un parallélogramme, ses diagonales $[BD]$ et $[CE]$ se coupent en leur milieu.
Soit $F$ le milieu de $[CE]$ :
$x_F = \dfrac{x_C+x_E}{2} = \dfrac{6+(-9)}{2} = \dfrac{-3}{2} = -1,5$.
$y_F = \dfrac{y_C+y_E}{2} = \dfrac{3+0}{2} = 1,5$.
Vérifions si $F$ est le milieu de $[AI]$ :
$\dfrac{x_A+x_I}{2} = \dfrac{-4+1}{2} = -1,5$ et $\dfrac{y_A+y_I}{2} = \dfrac{3+0}{2} = 1,5$.
Le point $F$ est donc le milieu commun des diagonales de $BCDE$ et du segment $[AI]$.
Les droites $(BD)$, $(CE)$ et $(AI)$ sont donc concourantes en $F(-1,5 ; 1,5)$.
