DS 2° - vecteurs, translation, symétrie, homothétie et colinéarité

Exercice 1

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, I, J) ci-dessus. La figure sera complétée au cours de l’exercice.

Placer les points $A(-4;3)$ et $B(1;6)$ sur le graphique ci-dessus.
a) Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
b) Calculer les coordonnées du point C image de I par la translation de vecteur $\vec{AB}$.
c) Calculer les longueurs AB et AI, puis en déduire la nature de ABCI en justifiant avec précision.
a) Calculer les coordonnées du point D symétrique de C par rapport à I.
b) Calculer les coordonnées du point E image de B par l’homothétie de centre A et de rapport k = -1.
c) Quelle est la nature du quadrilatère BCDE. Justifier.
Démontrer que les droites (BD), (CE) et (AI) sont concourantes en un point F dont on calculera les coordonnées.

1) Figure

Figure complétée avec les points et vecteurs

2) a) Coordonnées de $\vec{AB}$

$\vec{AB} \binom{x_B-x_A}{y_B-y_A} \implies \vec{AB} \binom{1-(-4)}{6-3} \implies \boldsymbol{\vec{AB} \binom{5}{3}}$

b) Coordonnées de C

C image de I par la translation de vecteur $\vec{AB}$ signifie que $\vec{IC} = \vec{AB}$.
$\vec{IC} \binom{x_C-x_I}{y_C-y_I} \implies \vec{IC} \binom{x_C-1}{y_C-0}$.
Donc $\begin{cases} x_C-1 = 5 \\ y_C = 3 \end{cases}$, d'où $\boldsymbol{C(6;3)}$.

c) Nature de ABCI

$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{5^2+3^2} = \boldsymbol{\sqrt{34}}$.

$AI = \sqrt{(x_I-x_A)^2 + (y_I-y_A)^2} = \sqrt{(1-(-4))^2+(0-3)^2} = \sqrt{5^2+(-3)^2} = \boldsymbol{\sqrt{34}}$.

$\vec{IC} = \vec{AB}$ donc ABCI est un parallélogramme. De plus, $AB=AI$ donc ABCI est un losange.

3) a) Coordonnées de D

D symétrique de C par rapport à I signifie que I est le milieu de [CD], donc $\vec{DI} = \vec{IC}$.
$\begin{cases} x_I-x_D = x_C-x_I \\ y_I-y_D = y_C-y_I \end{cases} \implies \begin{cases} 1-x_D = 6-1 \\ 0-y_D = 3-0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_D = -4 \\ y_D = -3 \end{cases}$. Donc $\boldsymbol{D(-4;-3)}$.

b) Coordonnées de E

E image de B par l'homothétie de centre A et de rapport -1 signifie que $\vec{AE} = -1 \times \vec{AB}$, donc $\vec{EA} = \vec{AB}$.
$\begin{cases} x_A-x_E = 5 \\ y_A-y_E = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} -4-x_E = 5 \\ 3-y_E = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x_E = -9 \\ y_E = 0 \end{cases}$. Donc $\boldsymbol{E(-9;0)}$.

c) Nature de BCDE

On a $\vec{AB}=\vec{IC}$, $\vec{DI}=\vec{IC}$ et $\vec{EA}=\vec{AB}$. Donc $\vec{DI}=\vec{EA}$, ce qui signifie que DIAE est un parallélogramme. Donc $\vec{ED} = \vec{AI}$.
ABCI est un parallélogramme, donc $\vec{BC} = \vec{AI}$.
On en déduit que $\vec{BC} = \vec{ED}$, donc BCDE est un parallélogramme.

4) Point de concours F

BCDE est un parallélogramme donc ses diagonales [BD] et [CE] ont le même milieu F.
F milieu de [CE] : $F(\frac{x_C+x_E}{2} ; \frac{y_C+y_E}{2}) \implies F(\frac{6+(-9)}{2} ; \frac{3+0}{2}) \implies \boldsymbol{F(-\frac{3}{2} ; \frac{3}{2})}$.

Coordonnées du milieu de [AI] : $(\frac{x_A+x_I}{2} ; \frac{y_A+y_I}{2}) = (\frac{-4+1}{2} ; \frac{3+0}{2}) = (-\frac{3}{2} ; \frac{3}{2})$.

Donc F est aussi le milieu de [AI]. Les droites (BD), (CE) et (AI) sont concourantes en F.