D.S de MATHÉMATIQUES

1. Résolution du système

On multiplie la 1ère équation par 5 et la 2ème par 2 pour éliminer les $x$ :

$\begin{cases}2x+3y=5 \quad (\times 5) \\ -5x+7y=1 \quad (\times 2)\end{cases} \iff \begin{cases}10x+15y=25 \\ -10x+14y=2\end{cases}$

En additionnant les deux lignes : $29y = 27 \iff y = \dfrac{27}{29}$.

On remplace $y$ dans la première équation :
$2x + 3 \times \dfrac{27}{29} = 5 \iff 2x + \dfrac{81}{29} = 5 \iff 2x = \dfrac{145}{29} - \dfrac{81}{29} = \dfrac{64}{29}$.

D'où $x = \dfrac{32}{29}$.

Conclusion : $S = \left\{ \left(\dfrac{32}{29} ; \dfrac{27}{29}\right) \right\}$.

2. Problème des viennoiseries

Soit $x$ le prix d'un croissant et $y$ le prix d'une brioche.

L'énoncé se traduit par le système :
$\begin{cases}6x+2y=5,80 \\ 2x+6y=5,80+0,40\end{cases} \iff \begin{cases}3x+y=2,9 \quad (L_1 \text{ divisée par } 2) \\ 2x+6y=6,2\end{cases}$

De $L_1$, on tire $y = 2,9 - 3x$. On substitue dans la seconde :

$2x + 6(2,9 - 3x) = 6,2 \iff 2x + 17,4 - 18x = 6,2 \iff -16x = -11,2 \iff x = \dfrac{11,2}{16} = 0,7$.

On trouve $y$ : $y = 2,9 - 3 \times 0,7 = 2,9 - 2,1 = 0,8$.

Un croissant coûte 0,70 € et une brioche coûte 0,80 €.

1. Étude de la fonction f

a) Construction : $f$ est affine, sa courbe $D_f$ est une droite. On cherche deux points :

• Si $x=0$, $f(0)=8$. Point $(0;8)$.
• Si $x=6$, $f(6)=-\frac{1}{3} \times 6 + 8 = -2+8=6$. Point $(6;6)$.

b) Variations : Le coefficient directeur est $a = -\frac{1}{3}$.

Comme $a < 0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

c) Signe : On résout $f(x)=0 \iff -\frac{1}{3}x+8=0 \iff \frac{1}{3}x=8 \iff x=24$.

Comme $f$ est décroissante, elle est d'abord positive puis négative.

$x$	$-\infty$	$24$	$+\infty$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$

2. Étude de la fonction g

a) Expression : $g$ est affine de la forme $g(x)=ax+b$.

Calcul du coefficient directeur : $a = \dfrac{g(2)-g(-1)}{2-(-1)} = \dfrac{-2-4}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$.

Donc $g(x)=-2x+b$. On utilise $g(-1)=4$ :

$-2(-1)+b=4 \iff 2+b=4 \iff b=2$.

Conclusion : $g(x)=-2x+2$.

b) Construction : On place les points $(-1;4)$ et $(2;-2)$ donnés dans l'énoncé et on trace la droite.

3. Intersection

On cherche $x$ tel que $f(x)=g(x)$ :

$-\dfrac{1}{3}x+8 = -2x+2$

$-\dfrac{1}{3}x + 2x = 2 - 8$

$\left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{6}{3}\right)x = -6 \iff \dfrac{5}{3}x = -6$

$x = -6 \times \dfrac{3}{5} = -\dfrac{18}{5} = -3,6$.

Calcul de l'ordonnée avec $g$ : $y = -2(-3,6)+2 = 7,2+2 = 9,2$ (ou $\frac{46}{5}$).

Le point d'intersection a pour coordonnées $\left(-\dfrac{18}{5} ; \dfrac{46}{5}\right)$.