DS 2° - systèmes de deux équations à deux inconnues et fonctgion affine

Exercice 1 (6 points)

1 - Résoudre avec la méthode de son choix :

$\begin{cases}2x+3y=5\\ -5x+7y=1\end{cases}$

2 - Aurélie dépense 5,80 euros pour six croissants et deux brioches. Il lui faudrait 0,40 euros de plus pour acheter deux croissants et six brioches. Combien coûte chaque viennoiserie ?

Exercice 2 (14 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

1- Soit f la fonction définie sur R par $f(x)=-\frac{1}{3}x+8$.

Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique ci-dessus en justifiant la construction.
Étudier les variations de la fonction f.
Faire le tableau de signes de f.

2- Soit g une fonction affine telle que $g(-1)=4$ et $g(2)=-2$.

Déterminer l'expression algébrique de g en expliquant la méthode utilisée.
Représenter graphiquement la fonction g sur le graphique ci-dessus.

3- Déterminer les coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques de f et g.

1- a) f est une fonction affine, sa représentation est une droite $D_f$.
$f(0)=8$ donc le point $(0;8) \in D_f$.
$f(6)=-\frac{1}{3} \times 6 + 8 = -2+8=6$ donc le point $(6;6) \in D_f$.

b) L'expression de f est de la forme $ax+b$ avec $a=-\frac{1}{3} < 0$, donc f est décroissante sur R.

c) $f(x)=0 \iff -\frac{1}{3}x+8=0 \iff \frac{1}{3}x=8 \iff x=24$.

$x$	$-\infty$	24	$+\infty$
$f(x)$	+	0	-

2- a) g est une fonction affine donc $g(x)=ax+b$.
$a = \frac{g(2)-g(-1)}{2-(-1)} = \frac{-2-4}{3} = \frac{-6}{3}=-2$.
On a $g(x)=-2x+b$. Comme $g(-1)=4$, on a $-2(-1)+b=4 \implies 2+b=4 \implies b=2$.
Donc $\boldsymbol{g(x)=-2x+2}$.

b) On utilise les points connus : $(-1;4)$ et $(2;-2)$.

3) On résout $f(x)=g(x)$ :
$-\frac{1}{3}x+8 = -2x+2$
$-\frac{1}{3}x+2x = 2-8$
$\frac{5}{3}x = -6 \implies x = -6 \times \frac{3}{5} = -\frac{18}{5}$.
$y = -2(-\frac{18}{5}) + 2 = \frac{36}{5} + \frac{10}{5} = \frac{46}{5}$.
Le point d'intersection a pour coordonnées $\boldsymbol{(-\frac{18}{5} ; \frac{46}{5})}$.