D.S de MATHÉMATIQUES

2) Soit K le milieu de [AC]. $K(\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}) = K(\frac{3+(-1)}{2}; \frac{5+(-1)}{2}) = K(1;2)$.

Coordonnées du milieu de [BD]: $(\frac{x_B+x_D}{2}; \frac{y_B+y_D}{2}) = (\frac{5+(-3)}{2}; \frac{0+4}{2}) = (1;2)$.

Donc K est le milieu de [AC] et [BD]. Donc ABCD est un parallélogramme.

3) BACE est un parallélogramme donc [BC] et [AE] ont le même milieu. Soit L le milieu de [BC]:

$L(\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2}) = L(\frac{5+(-1)}{2}; \frac{0+(-1)}{2}) = L(2; -\frac{1}{2})$.

L est le milieu de [AE] donc $x_L = \frac{x_A+x_E}{2}$ et $y_L = \frac{y_A+y_E}{2}$.

$2 = \frac{3+x_E}{2} \implies 4 = 3+x_E \implies x_E=1$.

$-\frac{1}{2} = \frac{5+y_E}{2} \implies -1 = 5+y_E \implies y_E=-6$. Donc $\boldsymbol{E(1;-6)}$.

4) $CE^2 = (x_E-x_C)^2 + (y_E-y_C)^2 = (1-(-1))^2 + (-6-(-1))^2 = 2^2 + (-5)^2 = 4+25=29$.

$EF^2 = (x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2 = (-1-1)^2 + (-6-(-6))^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4$.

$CF^2 = (x_F-x_C)^2 + (y_F-y_C)^2 = (-1-(-1))^2 + (-6-(-1))^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$.

$EF^2+CF^2 = 4+25=29=CE^2$. Donc CEF est rectangle en F.