D.S de MATHÉMATIQUES

Niveau Seconde

Date : 17/01

Durée : 0h 45min

Calculatrice autorisée

Exercice 1 (15 points)

La figure ci-dessous représente un repère orthonormé. Elle sera complétée à l'aide des questions qui suivent.

Sur la figure ci-dessus, placer les points $A(3; 5)$, $B(5; 0)$, $C(-1; -1)$ et $D(-3; 4)$.
Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier par le calcul.
Construire le point $E$ tel que $BACE$ soit un parallélogramme, puis calculer les coordonnées de $E$.
Construire le point $F(-1; -6)$, puis démontrer que $CEF$ est un triangle rectangle.

Corrigé de l'exercice 1

2. Nature du quadrilatère $ABCD$

On calcule les coordonnées du milieu $K$ de la diagonale $[AC]$ :
$K\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}; \dfrac{y_A+y_C}{2}\right) = K\left(\dfrac{3+(-1)}{2}; \dfrac{5+(-1)}{2}\right) = K(1;2)$.
On calcule les coordonnées du milieu de l'autre diagonale $[BD]$ :
$\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}; \dfrac{y_B+y_D}{2}\right) = \left(\dfrac{5+(-3)}{2}; \dfrac{0+4}{2}\right) = (1;2)$.
Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $K$. Donc ABCD est un parallélogramme.

3. Coordonnées du point $E$

$BACE$ est un parallélogramme, donc ses diagonales $[BC]$ et $[AE]$ ont le même milieu. Soit $L$ le milieu de $[BC]$.
$L\left(\dfrac{x_B+x_C}{2}; \dfrac{y_B+y_C}{2}\right) = L\left(2; -0,5\right)$.
$L$ est aussi le milieu de $[AE]$. On cherche $x_E$ et $y_E$ tels que :
$\dfrac{3+x_E}{2} = 2 \iff x_E = 1$ et $\dfrac{5+y_E}{2} = -0,5 \iff y_E = -6$.
Donc E(1 ; -6).

4. Nature du triangle $CEF$

$CE^2 = (x_E - x_C)^2 + (y_E - y_C)^2 = (1-(-1))^2 + (-6-(-1))^2 = 2^2 + (-5)^2 = 29$.
$EF^2 = (x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2 = (-1-1)^2 + (-6-(-6))^2 = (-2)^2 = 4$.
$CF^2 = (x_F - x_C)^2 + (y_F - y_C)^2 = (-1-(-1))^2 + (-6-(-1))^2 = (-5)^2 = 25$.
On remarque que $EF^2 + CF^2 = 4 + 25 = 29$ et $CE^2 = 29$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CEF est rectangle en F.

Exercice 2 (5 points)

Compléter la facture suivante (les prix sont en euros arrondis au centime) :

Article	Prix HT	Taux TVA	TVA	Prix TTC	Quantité	Montant
Vêtement	24,50	19,6%	...	...	2	...
Boisson	45	...	...	54,27	2	...
Livraison	...	5,5%	...	16,88	1	...
Total :						...

Corrigé détaillé de l'exercice 2

Ligne 1 (Vêtement) : Calcul de la valeur finale ($V_f$)

$V_i = 24,50$ $\xrightarrow{+19,6\%}$ $V_f = ?$

Formule : $V_f = V_i + V_i \times \dfrac{t}{100}$

Calcul de la TVA : $\text{TVA} = 24,50 \times \dfrac{19,6}{100} = 4,802 \approx$ 4,80 €.

Calcul du prix TTC : $V_f = 24,50 + 4,80 = $ 29,30 €.

Montant pour 2 articles : $29,30 \times 2 = $ 58,60 €.

Ligne 2 (Boisson) : Calcul du taux d'évolution ($t$)

$V_i = 45,00$ $\xrightarrow{+t\%}$ $V_f = 54,27$

Formule : $t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$

Calcul du taux : $t = \dfrac{54,27 - 45,00}{45,00} \times 100 = \dfrac{9,27}{45,00} \times 100 = 0,206 \times 100 = $ 20,6\%.

La TVA est de : $54,27 - 45,00 = $ 9,27 €.

Montant pour 2 articles : $54,27 \times 2 = $ 108,54 €.

Ligne 3 (Livraison) : Calcul de la valeur initiale ($V_i$)

$V_i = ?$ $\xrightarrow{+5,5\%}$ $V_f = 16,88$

Formule : $V_i + V_i \times \dfrac{t}{100} = V_f \iff V_i \left( 1 + \dfrac{t}{100} \right) = V_f$

On cherche $V_i$ tel que : $V_i \times \left( 1 + \dfrac{5,5}{100} \right) = 16,88 \iff V_i \times 1,055 = 16,88$.

On obtient : $V_i = \dfrac{16,88}{1,055} = $ 16,00 €.

La TVA est de : $16,88 - 16,00 = $ 0,88 €.

Montant pour 1 article : 16,88 €.

Total de la facture : $58,60 + 108,54 + 16,88 = $ 184,02 €.

Exercice 1 (15 points)

Corrigé de l'exercice 1

Exercice 2 (5 points)

Corrigé détaillé de l'exercice 2

Bloqueur de publicité détecté