DS 2nde - Géométrie analytique et Taux d'évolution

Exercice 1

15 points

La figure ci-dessous représente un repère orthonormé. Elle sera complétée à l'aide des questions qui suivent.

Sur la figure ci-dessus, placer les points $A(3; 5)$, $B(5; 0)$, $C(-1; -1)$ et $D(-3; 4)$.
Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier par le calcul.
Construire le point $E$ tel que $BACE$ soit un parallélogramme, puis calculer les coordonnées de $E$.
Construire le point $F(-1; -6)$, puis démontrer que $CEF$ est un triangle rectangle.

Corrigé de l'exercice 1

2. Nature du quadrilatère ABCD

On calcule les coordonnées du milieu $K$ de la diagonale $[AC]$ :
$K\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}; \dfrac{y_A+y_C}{2}\right) = K\left(\dfrac{3+(-1)}{2}; \dfrac{5+(-1)}{2}\right) = K(1;2)$.

On calcule les coordonnées du milieu de l'autre diagonale $[BD]$ :
$\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}; \dfrac{y_B+y_D}{2}\right) = \left(\dfrac{5+(-3)}{2}; \dfrac{0+4}{2}\right) = (1;2)$.

Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $K$. Donc ABCD est un parallélogramme.

3. Coordonnées du point E

$BACE$ est un parallélogramme, donc ses diagonales $[BC]$ et $[AE]$ ont le même milieu. Soit $L$ le milieu de $[BC]$.

$L\left(\dfrac{x_B+x_C}{2}; \dfrac{y_B+y_C}{2}\right) = L\left(\dfrac{5+(-1)}{2}; \dfrac{0+(-1)}{2}\right) = L\left(2; -0,5\right)$.

$L$ est aussi le milieu de $[AE]$. On cherche $x_E$ et $y_E$ tels que :
$\dfrac{x_A+x_E}{2} = x_L \iff \dfrac{3+x_E}{2} = 2 \iff 3+x_E = 4 \iff x_E = 1$.
$\dfrac{y_A+y_E}{2} = y_L \iff \dfrac{5+y_E}{2} = -0,5 \iff 5+y_E = -1 \iff y_E = -6$.

Donc $E(1 ; -6)$.

4. Nature du triangle CEF

On calcule les carrés des longueurs des côtés du triangle $CEF$ avec $C(-1;-1)$, $E(1;-6)$, $F(-1;-6)$.

$CE^2 = (x_E-x_C)^2 + (y_E-y_C)^2 = (1-(-1))^2 + (-6-(-1))^2 = 2^2 + (-5)^2 = 4+25 = 29$.
$EF^2 = (x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2 = (-1-1)^2 + (-6-(-6))^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4$.
$CF^2 = (x_F-x_C)^2 + (y_F-y_C)^2 = (-1-(-1))^2 + (-6-(-1))^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$.

On remarque que $EF^2 + CF^2 = 4 + 25 = 29$ et $CE^2 = 29$.

Donc $EF^2 + CF^2 = CE^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CEF est rectangle en F.

Exercice 2

5 points

Compléter la facture suivante (les prix sont en euros arrondis au centime) :

Rappel : La TVA est une taxe qui s'ajoute au prix HT pour obtenir le prix TTC.

Article	Prix HT	Taux TVA	TVA	Prix TTC	Quantité	Montant
Vêtement	24,50	19,6%	...	...	2	...
Boisson	45	...	...	54,27	2	...
Livraison	...	5,5%	...	16,88	1	...
Total :						...

Corrigé de l'exercice 2

Ligne 1 : Vêtement

Prix TTC = Prix HT $\times (1 + \text{taux}) = 24,50 \times 1,196 = 29,302 \approx 29,30$ €.
TVA = Prix TTC - Prix HT = $29,30 - 24,50 = 4,80$ €.
Montant = Prix TTC $\times$ Quantité = $29,30 \times 2 = 58,60$ €.

Ligne 2 : Boisson

Taux d'évolution = $\dfrac{\text{Arrivée} - \text{Départ}}{\text{Départ}} = \dfrac{54,27 - 45}{45} = \dfrac{9,27}{45} = 0,206 = 20,6\%$.
TVA = $54,27 - 45 = 9,27$ €.
Montant = $54,27 \times 2 = 108,54$ €.

Ligne 3 : Livraison

Prix HT = $\dfrac{\text{Prix TTC}}{1 + \text{taux}} = \dfrac{16,88}{1,055} = 16,00$ €.
TVA = $16,88 - 16,00 = 0,88$ €.
Montant = $16,88 \times 1 = 16,88$ €.

Tableau complété :

Article	Prix HT	Taux TVA	TVA	Prix TTC	Quantité	Montant
Vêtement	24,50	19,6%	4,80	29,30	2	58,60
Boisson	45	20,6%	9,27	54,27	2	108,54
Livraison	16	5,5%	0,88	16,88	1	16,88
Total :						184,02

Exercice 1

Corrigé de l'exercice 1

Exercice 2

Corrigé de l'exercice 2

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