D.S de MATHÉMATIQUES

1. Domaine de définition

La fonction est définie de $x=-4$ à $x=5$, avec une valeur interdite en $x=2$ (asymptote verticale).

$\mathcal{D}_f = [-4;2[ \cup ]2;5]$

2. Image de -4

On lit sur le graphique (trait vert) : $f(-4) \approx -0,4$.

3. Antécédents de -0,4

On trace la droite horizontale $y=-0,4$ (trait rouge) et on lit les abscisses des points d'intersection.

Les antécédents sont $\{-4 ; -1,6 ; 1,8\}$.

4. Résolutions graphiques

a) $f(x)=0$ : On lit les abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses. $S=\{-0,7 ; 0,7\}$.

b) $f(x)>-0,2$ : On cherche les intervalles où la courbe est au-dessus de la droite $y=-0,2$. $S=[-1,3 ; 1,7[ \cup ]2 ; 5]$.

5. Tableau de variation

6. Maximum sur $[-4;-1]$

Le maximum est $-0,1$, atteint en $x=-1$.

7. Minimum sur $[-4;-1]$

Le minimum est $-0,5$, atteint en $x=-1,7$.

8. Identification de la fonction

• $f_1(x)$ n'est pas définie en $0$, or la courbe passe par $x=0$. Donc $f_1$ ne convient pas.
• $f_2(0) = \dfrac{1}{-2} = -0,5$. Or sur le graphique $f(0) \approx -0,1$. Donc $f_2$ ne convient pas.
• $f_4(0) = \dfrac{1}{-8}$. Or sur le graphique $f(0) \approx -0,1$. Donc $f_4$ ne convient pas.

La seule fonction possible est donc $f_3(x)=\dfrac{2x^{2}-1}{x^{3}-8}$. On vérifie que $x^3-8=0 \iff x^3=8 \iff x=2$, ce qui correspond bien à l'asymptote verticale.

1. Domaine de définition

Le tableau commence à $x=-10$ et finit à $x=10$. $\mathcal{D}_f = [-10 ; 10]$.

2. Parité

On regarde les images aux extrémités opposées : $f(-10) = -3$ et $f(10) = 3$.

Comme $f(-10) \neq f(10)$, la fonction n'est pas paire (elle pourrait être impaire, mais ce n'est pas demandé).

Faux, car $f(-10) \neq f(10)$.

3. Vrai, Faux ou On ne sait pas

• $f(-7) < f(1)$ : $-7 \in [-10;-6]$, donc $f(-7)$ est compris entre $-3$ et $-1$. On a $f(1)=1$. Comme tout nombre entre -3 et -1 est strictement inférieur à 1, c'est Vrai.
• $f(-5) < f(9)$ : $-5 \in [-6;-1]$, donc $f(-5) \in [-4;-1]$. $9 \in [2;10]$, donc $f(9) \in [0;3]$. Les intervalles $[-4;-1]$ et $[0;3]$ sont disjoints et le premier est entièrement en dessous du second. Donc Vrai.
• 0 est le minimum de $f$ sur $[-1;2]$ : Sur cet intervalle, la fonction croît de $f(-1)=-4$ à $f(1)=1$, puis décroît de $f(1)=1$ à $f(2)=0$. Le minimum atteint est donc $-4$ (en $x=-1$). Donc c'est Faux.

4. Antécédents de 0

On cherche combien de fois la fonction prend la valeur 0.

• Sur $[-6;-1]$, $f$ décroît de $-1$ à $-4$. Elle ne prend pas la valeur 0.
• Sur $[-1;1]$, $f$ croît de $-4$ à $1$. Elle prend la valeur 0 une fois (théorème des valeurs intermédiaires).
• Sur $[1;2]$, $f$ décroît de $1$ à $0$. Elle prend la valeur 0 une fois (en $x=2$).
• Sur $[2;10]$, $f$ croît de $0$ à $3$. Elle ne reprend pas la valeur 0 (sauf en $x=2$ déjà compté).

Il y a donc exactement 2 antécédents pour 0.

5. Equation $f(x)=-1$

On cherche combien de fois la fonction prend la valeur -1.

• En $x=-6$, $f(-6)=-1$. C'est une solution.
• Sur $[-10;-6]$, $f$ croît de $-3$ à $-1$. La valeur -1 est atteinte uniquement en $x=-6$.
• Sur $[-6;-1]$, $f$ décroît de $-1$ à $-4$. La valeur -1 est atteinte uniquement en $x=-6$.
• Sur $[-1;1]$, $f$ croît de $-4$ à $1$. Elle prend la valeur -1 une fois.
• Sur $[1;10]$, $f$ est positive ou nulle. Elle ne prend pas la valeur -1.

L'équation $f(x)=-1$ admet donc deux solutions.

L'une est exactement $x_1 = -6$. L'autre, $x_2$, se trouve dans l'intervalle $]-1 ; 1[$.

Encadrement de la deuxième solution : $-1 < x_2 < 1$.