DS 2° - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

Exercice 1 (10 points)

Résoudre dans IR les équations ci-dessous :

$-5+3x=7x+1$

$\frac{x}{4}-\frac{7x}{2}=\frac{8x}{32}-2$

$-\frac{2}{5}(-4x-5)=\frac{x}{2}+2$

$1+x\sqrt{5}=2x-\sqrt{2}$

$-5+3x=7x+1$
$3x-7x = 5+1$
$-4x = 6$
$\frac{1}{-4} \times (-4x) = 6 \times \frac{1}{-4}$
$x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$
$\boldsymbol{S = \{-\frac{3}{2}\}}$

$\frac{x}{4}-\frac{7x}{2}=\frac{8x}{32}-2$
$\frac{x}{4}-\frac{14x}{4}=\frac{x}{4}-2$
$4 \times (\frac{x-14x}{4}) = (\frac{x-8}{4}) \times 4$
$x-14x = x-8$
$-14x = -8$
$x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$
$\boldsymbol{S = \{\frac{4}{7}\}}$

$-\frac{2}{5}(-4x-5)=\frac{x}{2}+2$
$\frac{8}{5}x + 2 = \frac{x}{2} + 2$
$\frac{16}{10}x + \frac{20}{10} = \frac{5x}{10} + \frac{20}{10}$
$10 \times (\frac{16x+20}{10}) = (\frac{5x+20}{10}) \times 10$
$16x+20 = 5x+20$
$16x-5x = 0$
$11x = 0$
$\frac{1}{11} \times 11x = 0 \times \frac{1}{11}$
$x=0$
$\boldsymbol{S = \{0\}}$

$1+x\sqrt{5}=2x-\sqrt{2}$
$-2x+x\sqrt{5} = -1-\sqrt{2}$
$x(-2+\sqrt{5}) = -1-\sqrt{2}$
$\frac{1}{-2+\sqrt{5}} \times x(-2+\sqrt{5}) = (-1-\sqrt{2}) \times \frac{1}{-2+\sqrt{5}}$
$x = \frac{-1-\sqrt{2}}{-2+\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{5}}$
$\boldsymbol{S = \{\frac{1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{5}}\}}$

Exercice 2 (10 points)

Résoudre dans IR les inéquations ci-dessous :

$-3x-1\ge3x+1$

$\frac{7}{3}x+\frac{9}{2}>\frac{14x+25}{6}$

$4x-2-(5x+1)\le2x-2(1-\frac{x}{3})$

$\sqrt{2}+x\sqrt{3} < x\sqrt{5}-\sqrt{2}$

$-3x-1 \ge 3x+1$
$-3x-3x \ge 1+1$
$-6x \ge 2$
$\frac{1}{-6} \times (-6x) \le 2 \times \frac{1}{-6}$
$x \le -\frac{2}{6}$
$x \le -\frac{1}{3}$
$\boldsymbol{S = ]-\infty; -\frac{1}{3}]}$

$\frac{7}{3}x+\frac{9}{2}>\frac{14x+25}{6}$
$6 \times (\frac{14x+27}{6}) > (\frac{14x+25}{6}) \times 6$
$14x+27 > 14x+25$
$27 > 25$
$\boldsymbol{S = \mathbb{R}}$

$4x-2-(5x+1)\le2x-2(1-\frac{x}{3})$
$4x-2-5x-1 \le 2x - 2 + \frac{2x}{3}$
$-x-3 \le 2x - 2 + \frac{2x}{3}$
$-x-2x-\frac{2x}{3} \le 3-2$
$-3x-\frac{2x}{3} \le 1$
$-\frac{9x}{3}-\frac{2x}{3} \le 1$
$-\frac{11}{3}x \le 1$
$\frac{3}{-11} \times \frac{-11}{3}x \ge 1 \times \frac{3}{-11}$
$x \ge -\frac{3}{11}$
$\boldsymbol{S = [-\frac{3}{11}; +\infty[}$

$\sqrt{2}+x\sqrt{3} < x\sqrt{5}-\sqrt{2}$
$x\sqrt{3}-x\sqrt{5} < -\sqrt{2}-\sqrt{2}$
$x(\sqrt{3}-\sqrt{5}) < -2\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \times x(\sqrt{3}-\sqrt{5}) > -2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$
$x > \frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$
$x > \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$
$\boldsymbol{S = ]\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}; +\infty[}$