1) Lecture graphique

Par lecture graphique, on attend 300 visiteurs à 11h00 et 350 visiteurs à 12h00.

2) Plage horaire "Fond musical"

On cherche les heures où la courbe est au-dessus de la ligne $y=300$.

Pour profiter du fond musical, le visiteur doit venir au parc entre 11h00 et 18h00.

3) Maximum

Par lecture graphique, le nombre maximal de visiteurs est atteint à 14h30.

Il vaut environ 400.

4) Forme canonique

Le sommet de la parabole est $S(14,5 ; 400)$.

La forme canonique est donc $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=14,5$ et $\beta=400$.

Soit $f(x) = a(x-14,5)^2 + 400$.

On utilise le point $(12 ; 350)$ :

$$350 = a(12 - 14,5)^2 + 400$$

$$350 = a(-2,5)^2 + 400$$

$$-50 = 6,25a \iff a = \frac{-50}{6,25} = -8$$

$$(C) : f(x) = -8(x-14,5)^2 + 400$$

1) Recette

Chaque visiteur paie 30€, donc pour $x$ visiteurs :

$$R(x) = 30x$$

2) Bénéfice

Bénéfice = Recette - Coût total

$$B(x) = R(x) - C_T(x)$$

$$B(x) = 30x - (0,2x^2 - 130x + 23000)$$

$$B(x) = 30x - 0,2x^2 + 130x - 23000$$

$$B(x) = -0,2x^2 + 160x - 23000$$

3) Rentabilité ($B(x) \ge 0$)

On cherche les racines du trinôme $-0,2x^2 + 160x - 23000$.

$\Delta = 160^2 - 4 \times (-0,2) \times (-23000) = 25600 - 18400 = 7200$.

$\Delta > 0$, deux racines distinctes :

$$x_1 = \frac{-160 - \sqrt{7200}}{2 \times (-0,2)} \approx \frac{-160 - 84,85}{-0,4} \approx 612,1$$

$$x_2 = \frac{-160 + \sqrt{7200}}{2 \times (-0,2)} \approx \frac{-160 + 84,85}{-0,4} \approx 187,9$$

Le coefficient $a = -0,2$ est négatif, donc $B(x)$ est positif entre les racines.

Le parc réalise des bénéfices pour un nombre de visiteurs compris entre 188 et 612.

4) Bénéfice maximal

À l'aide de la calculatrice (fonction Maximum du graphe ou tableau de valeurs), on observe que le sommet de la parabole correspond au point de coordonnées $(400 ; 9000)$.

Le bénéfice maximal est donc atteint pour 400 visiteurs et il s'élève à 9 000 €.