1. a) Calcul de la dérivée

$C(x) = x^3 - 30x^2 + 300x$

$C'(x) = 3x^2 - 30 \times 2x + 300 = \mathbf{3x^2 - 60x + 300}$.

1. b) Tableau de variation de $C$

Signe de $C'(x)$ sur $[0; 20]$.

On remarque que $C'(x) = 3(x^2 - 20x + 100) = 3(x-10)^2$.

Un carré est toujours positif, donc pour tout $x \in [0; 20]$, $C'(x) \ge 0$.

La fonction $C$ est donc strictement croissante sur $[0; 20]$.

Valeurs aux bornes :

• $C(0) = 0$
• $C(20) = 20^3 - 30(20)^2 + 300(20) = 8000 - 12000 + 6000 = 2000$.

2. a) Expression du bénéfice $B(x)$

$B(x) = R(x) - C(x)$

$B(x) = 84x - (x^3 - 30x^2 + 300x)$

$B(x) = 84x - x^3 + 30x^2 - 300x$

$$B(x) = -x^3 + 30x^2 - 216x$$

2. b) Bénéfice maximal

On cherche le maximum de la fonction $B$. Calculons sa dérivée $B'(x)$.

$B'(x) = -3x^2 + 30 \times 2x - 216 = \mathbf{-3x^2 + 60x - 216}$.

Étude du signe de $B'(x)$ (trinôme du second degré) :

$\Delta = 60^2 - 4 \times (-3) \times (-216) = 3600 - 2592 = 1008 > 0$.

Deux racines :

$x_1 = \dfrac{-60 - \sqrt{1008}}{2(-3)} \approx \dfrac{-60 - 31,75}{-6} \approx 15,29$

$x_2 = \dfrac{-60 + \sqrt{1008}}{2(-3)} \approx \dfrac{-60 + 31,75}{-6} \approx 4,71$

Le coefficient $a=-3$ est négatif, donc $B'(x)$ est positif entre les racines (signe contraire de $a$).

La fonction $B$ est croissante entre $x_2$ et $x_1$, puis décroissante après $x_1$.

Le maximum est atteint en $x_1 \approx 15,29$.

Conclusion :

La production doit être d'environ 15 tonnes.

Calcul du bénéfice maximal : $B(15,29...)$.

Valeur exacte : $B(10+2\sqrt{7}) \approx 136$.

Le bénéfice est d'environ 136 000 €.

1) Domaine de définition

$f(x)$ existe si $x+1 \ne 0$, soit $x \ne -1$.

$$D = [-10 ; -1[ \cup ]-1 ; 10]$$

2) Calcul de la dérivée

$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u = -x^2+3x-5$ et $v = x+1$.

$u' = -2x+3$ et $v' = 1$.

$f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{(-2x+3)(x+1) - (-x^2+3x-5)(1)}{(x+1)^2}$

$f'(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 3x + 3 + x^2 - 3x + 5}{(x+1)^2}$

$$f'(x) = \dfrac{-x^2 - 2x + 8}{(x+1)^2}$$

3) Signe de $f'$ et variations

Pour tout $x \in D$, $(x+1)^2 > 0$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc du numérateur $-x^2 - 2x + 8$.

$\Delta = (-2)^2 - 4 \times (-1) \times 8 = 4 + 32 = 36 > 0$.

Racines : $x_1 = \dfrac{2 - 6}{-2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{2 + 6}{-2} = -4$.

Le polynôme est du signe de $a=-1$ (négatif) à l'extérieur des racines.

Note: $f(-4) = \dfrac{-16-12-5}{-3} = \dfrac{-33}{-3} = 11$. $f(2) = \dfrac{-4+6-5}{3} = -1$.

4) Tangente $T$ en 0

a) Équation : $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.

$f'(0) = \dfrac{8}{1^2} = 8$.

$f(0) = \dfrac{-5}{1} = -5$.

$$y = 8x - 5$$

b) Tracé : On utilise 2 points.

• Si $x=0$, $y=-5 \Rightarrow A(0; -5)$.
• Si $x=1$, $y=8(1)-5 = 3 \Rightarrow B(1; 3)$.

On place les points A et B et on trace la droite passant par ces deux points.