Note : Le corrigé ci-dessous calcule également $u_0$, considérant $n \in \mathbb{N}$.

1) Calcul des premiers termes

• $u_0 = 2 \times 0^2 - 3 \times 0 + 1 = 1$.
• $u_1 = 2 \times 1^2 - 3 \times 1 + 1 = 0$.
• $u_2 = 2 \times 2^2 - 3 \times 2 + 1 = 3$.

2) Expressions en fonction de $n$

$\bullet \ u_{n+1} = 2(n+1)^2 - 3(n+1) + 1 = 2(n^2+2n+1) - 3n - 3 + 1$

$= 2n^2 + 4n + 2 - 3n - 2 = \textcolor{red}{2n^2 + n}$.

$\bullet \ u_{n-1} = 2(n-1)^2 - 3(n-1) + 1 = 2(n^2-2n+1) - 3n + 3 + 1$

$= 2n^2 - 4n + 2 - 3n + 4 = \textcolor{red}{2n^2 - 7n + 6}$.

$\bullet \ u_{2n} = 2 \times (2n)^2 - 3 \times 2n + 1 = \textcolor{red}{8n^2 - 6n + 1}$.

$\bullet \ u_{2n-1} = 2(2n-1)^2 - 3(2n-1) + 1 = 2(4n^2-4n+1) - 6n + 3 + 1$

$= 8n^2 - 8n + 2 - 6n + 4 = \textcolor{red}{8n^2 - 14n + 6}$.

3) Sens de variation

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$.

$u_{n+1} - u_n = (2n^2 + n) - (2n^2 - 3n + 1)$

$= 2n^2 + n - 2n^2 + 3n - 1 = \textcolor{red}{4n - 1}$.

Comme $n \ge 1$, alors $4n - 1 \ge 3 > 0$.

Donc la suite $(u_n)$ est croissante.

1) Calcul des termes

$v_1 = v_{0+1} = v_0 - 0^2 + 3 \times 0 - 5 = 1 - 5 = \textcolor{red}{-4}$.

$v_2 = v_{1+1} = v_1 - 1^2 + 3 \times 1 - 5 = -4 - 1 + 3 - 5 = \textcolor{red}{-7}$.

$v_3 = v_{2+1} = v_2 - 2^2 + 3 \times 2 - 5 = -7 - 4 + 6 - 5 = \textcolor{red}{-10}$.

2) Sens de variation

Pour tout $n \in \mathbb{N}, v_{n+1} - v_n = -n^2 + 3n - 5$.

Étudions le signe du trinôme $-n^2 + 3n - 5$.

$\Delta = 3^2 - 4 \times (-1) \times (-5) = 9 - 20 = -11$.

$\Delta < 0$, donc pas de racine. Le trinôme est toujours du signe de $a = -1 < 0$.

Donc pour tout $n \in \mathbb{N}, v_{n+1} - v_n < 0$.

Donc la suite $(v_n)$ est décroissante.

1. Suite arithmétique ($r=-2, u_0=1$)

a) $u_{n+1} = u_n + r$ donc $\textcolor{red}{u_{n+1} = u_n - 2}$.

b) $u_n = u_0 + nr$ donc $u_n = 1 + n \times (-2) \implies \textcolor{red}{u_n = -2n + 1}$.

c) $u_{40} = -2 \times 40 + 1 = -80 + 1 = \textcolor{red}{-79}$.

2. Suite géométrique ($q=3, v_0=5$)

a) $v_{n+1} = q \times v_n$ donc $\textcolor{red}{v_{n+1} = 3v_n}$.

b) $v_n = v_0 \times q^n$ donc $\textcolor{red}{v_n = 5 \times 3^n}$.