$(E_1) : -3x^2 + 5x - 2 = 0$

On identifie : $a = -3, b = 5, c = -2$.

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times (-3) \times (-2) = 25 - 24 = 1$.

$\Delta > 0$, donc l'équation admet deux racines distinctes :

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 - 1}{2 \times (-3)} = \dfrac{-6}{-6} = 1$

$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 + 1}{2 \times (-3)} = \dfrac{-4}{-6} = \dfrac{2}{3}$

$$S = \left\{ 1 ; \dfrac{2}{3} \right\}$$

$(E_2) : x^2 + x + 1 = 0$

On identifie : $a = 1, b = 1, c = 1$.

$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$.

$\Delta < 0$, donc l'équation n'admet pas de racine réelle.

$$S = \emptyset$$

$(E_3) : 3x^2 - 6x + 3 = 0$

On identifie : $a = 3, b = -6, c = 3$.

$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 3 \times 3 = 36 - 36 = 0$.

$\Delta = 0$, donc l'équation admet une racine unique :

$x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(-6)}{2 \times 3} = \dfrac{6}{6} = 1$

$$S = \{ 1 \}$$

$(I_1) : 3x^2 + x - 2 > 0$

$a=3, b=1, c=-2$. $\Delta = 1^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 1 + 24 = 25$.

Racines : $x_1 = \dfrac{-1-5}{6} = -1$ et $x_2 = \dfrac{-1+5}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

Le polynôme est du signe de $a$ ($a=3>0$) à l'extérieur des racines.

$$S = ]-\infty ; -1[ \cup \left] \dfrac{2}{3} ; +\infty \right[$$

$(I_2) : x^2 - 4x + 2 \le 0$

$a=1, b=-4, c=2$. $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 16 - 8 = 8$.

Racines : $x_1 = \dfrac{4-\sqrt{8}}{2} = \dfrac{4-2\sqrt{2}}{2} = 2-\sqrt{2}$ et $x_2 = 2+\sqrt{2}$.

Le polynôme est du signe de $a$ ($a=1>0$) à l'extérieur. Il est donc négatif ou nul entre les racines.

$$S = \left[ 2-\sqrt{2} ; 2+\sqrt{2} \right]$$

$(I_3) : -x^2 - 2x - 7 \ge 0$

$a=-1, b=-2, c=-7$. $\Delta = (-2)^2 - 4 \times (-1) \times (-7) = 4 - 28 = -24 < 0$.

Pas de racine. Le polynôme est toujours du signe de $a$ ($a=-1$), donc strictement négatif pour tout $x$.

Or on cherche quand il est positif ou nul.

$$S = \emptyset$$

$(E_4) : (-3x^2 + 5x - 2)(x^2 + x + 1) = 0$

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

• $-3x^2 + 5x - 2 = 0$ : D'après l'exercice 1, $x_1 = 1$ et $x_2 = \frac{2}{3}$.
• $x^2 + x + 1 = 0$ : D'après l'exercice 1, pas de racine.

$$S = \left\{ 1 ; \dfrac{2}{3} \right\}$$

$(I_4) : (3x^2 + x - 2)(x^2 - 3x + 1) < 0$

On étudie le signe de chaque facteur.

1) $3x^2 + x - 2$ : D'après l'exercice 2, racines en $-1$ et $\frac{2}{3}$. Signe de $a=3$ (+) à l'extérieur.

2) $x^2 - 3x + 1$ : $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5$.

Racines : $x_3 = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $x_4 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$. Signe de $a=1$ (+) à l'extérieur.

Tableau de signes : On ordonne les valeurs : $-1 < \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} (\approx 0,38) < \dfrac{2}{3} (\approx 0,67) < \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} (\approx 2,62)$.

On cherche le produit strictement négatif ($<0$).

$$S = \left] -1 ; \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right[ \cup \left] \dfrac{2}{3} ; \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right[$$