Résolution d'une inéquation du second degré
Exercice 1 : Résolution avec tableau de signes (Difficulté progressive)
Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
$(I_1): x^2 - 5x + 3 \le 0$
$(I_2): -x^2 + 6x - 9 > 0$
$(I_3): x^2 + x + 1 < 0$
$(I_4): \sqrt{3}x^2 + 4x - \sqrt{3} \ge 0$
$(I_5): -\dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \le 0$
Corrigé :
On étudie le signe du trinôme. $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 13 > 0$.
Il admet deux racines : $x_1 = \dfrac{5 - \sqrt{13}}{2}$ et $x_2 = \dfrac{5 + \sqrt{13}}{2}$.
Le trinôme est du signe de $a = 1 > 0$ à l'extérieur des racines et négatif ou nul entre elles.
$S = \left[ \dfrac{5 - \sqrt{13}}{2} ; \dfrac{5 + \sqrt{13}}{2} \right]$
$\Delta = 6^2 - 4 \times (-1) \times (-9) = 0$.
Une racine double : $x_0 = 3$.
Le trinôme est toujours du signe de $a = -1 < 0$ (sauf en $3$ où il s'annule). Il n'est donc jamais strictement positif.
$S = \emptyset$
$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$.
Le trinôme est toujours du signe de $a = 1 > 0$. Il n'est donc jamais négatif.
$S = \emptyset$
$\Delta = 4^2 - 4 \times \sqrt{3} \times (-\sqrt{3}) = 28 > 0$.
$x_1 = \dfrac{-2 - \sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ et $x_2 = \dfrac{-2 + \sqrt{7}}{\sqrt{3}}$.
Ici $a = \sqrt{3} > 0$. Le trinôme est positif ou nul à l'extérieur des racines.
$S = \left]-\infty ; \dfrac{-2 - \sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right] \cup \left[\dfrac{-2 + \sqrt{7}}{\sqrt{3}} ; +\infty\right[$
$\Delta = 1^2 - 4 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{1}{2} = 1 + 1 = 2 > 0$.
$x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{2}}{-1} = 1 + \sqrt{2}$ et $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.
Ici $a = -1/2 < 0$. Le trinôme est négatif ou nul à l'extérieur des racines.
$S = \left]-\infty ; 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2} ; +\infty\right[$
Exercice 2 : Résolution de cas particuliers sans discriminant
Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ en utilisant la factorisation ou des opérations de base :
a) $x^2 - 4 > 0$
b) $x^2 + 5 \le 0$
c) $-3x^2 \ge 0$
d) $(x - 2)(x + 3) < 0$
e) $(2x - 1)^2 > 0$
Corrigé :
Racines : $-2$ et $2$. $a = 1 > 0$. Positif à l'extérieur des racines.
$S = \left]-\infty ; -2\right[ \cup \left]2 ; +\infty\right[$
Un carré est toujours positif ou nul. Donc $x^2 \ge 0 \implies x^2 + 5 \ge 5 > 0$. Impossible d'être $\le 0$.
$S = \emptyset$
$-3x^2 \ge 0 \iff x^2 \le 0$. Or $x^2 \ge 0$. Donc la seule solution est $x = 0$.
$S = \{ 0 \}$
C'est un polynôme de degré 2 de racines $2$ et $-3$, avec $a = 1 > 0$. Négatif entre les racines.
$S = \left]-3 ; 2\right[$
Un carré est toujours positif ou nul. Il est strictement positif si $2x - 1 \neq 0 \iff x \neq \dfrac{1}{2}$.
$S = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}$
Exercice 3 : Inéquations quotients simples
Résoudre les inéquations quotients suivantes :
a) $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} \le 0$
b) $\dfrac{-2x^2 + 8}{x + 3} > 0$
c) $\dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 - 9} \ge 0$
d) $\dfrac{3x - 1}{x^2 - x - 12} < 0$
e) $\dfrac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} \le 0$
Corrigé :
Numérateur : $\Delta = 25 - 24 = 1$. Racines $2$ et $3$. $a=1>0$.
Dénominateur : racine $1$ (valeur interdite).
En dressant le tableau de signes, le quotient est négatif sur $\left]-\infty ; 1\right[ \cup [2 ; 3]$.
$S = \left]-\infty ; 1\right[ \cup [2 ; 3]$
Numérateur : Racines $-2$ et $2$. $a=-2<0$.
Dénominateur : racine $-3$ (valeur interdite).
Tableau de signes : quotient positif sur $\left]-\infty ; -3\right[ \cup \left]-2 ; 2\right[$.
$S = \left]-\infty ; -3\right[ \cup \left]-2 ; 2\right[$
Numérateur : $\Delta = 9$. Racines $1$ et $-2$. $a=1>0$.
Dénominateur : Racines $3$ et $-3$ (valeurs interdites).
Tableau de signes : quotient positif sur $\left]-\infty ; -3\right[ \cup \left[-2 ; 1\right] \cup \left]3 ; +\infty\right[$.
$S = \left]-\infty ; -3\right[ \cup \left[-2 ; 1\right] \cup \left]3 ; +\infty\right[$
Numérateur : Racine $\dfrac{1}{3}$.
Dénominateur : $\Delta = 49$. Racines $4$ et $-3$ (valeurs interdites). $a=1>0$.
Tableau de signes : quotient strictement négatif sur $\left]-\infty ; -3\right[ \cup \left]\dfrac{1}{3} ; 4\right[$.
$S = \left]-\infty ; -3\right[ \cup \left]\dfrac{1}{3} ; 4\right[$
Numérateur : $\Delta = 0$. Racine double $1$. Le numérateur est toujours négatif ou nul ($a=-1<0$).
Dénominateur : Racine $-2$ (valeur interdite).
Pour que le quotient soit $\le 0$, le dénominateur doit être strictement positif ($x > -2$). La racine $1$ est incluse.
$S = \left]-2 ; +\infty\right[$
Exercice 4 : Inéquations quotients (degré supérieur)
Résoudre l'inéquation suivante :
a) $\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 + x + 1} \ge 0$
b) $\dfrac{x^2 + 2x + 5}{-x^2 + 6x - 9} \le 0$
c) $\dfrac{2x^2 + x - 1}{x^2 - 4x + 4} > 0$
d) $\dfrac{-3x^2 + x - 2}{x^2 + x + 2} \ge 0$
e) $\dfrac{x^2 - 9}{2x^2 + x + 1} < 0$
Corrigé :
Numérateur : $x^2 - x - 2$. $\Delta = 9$. Racines : $-1$ et $2$.
Dénominateur : $x^2 + x + 1$. $\Delta = -3 < 0$. Toujours strictement positif.
Le quotient a le même signe que le numérateur.
$S = \left]-\infty ; -1\right] \cup \left[2 ; +\infty\right[$
Numérateur : $\Delta = -16 < 0$. Toujours positif.
Dénominateur : $-(x-3)^2 \le 0$. Racine $3$ (exclue). Toujours négatif.
Le quotient est toujours négatif.
$S = \mathbb{R} \setminus \{ 3 \}$
Numérateur : Racines $-1$, $1/2$. Positif à l'extérieur.
Dénominateur : $(x-2)^2 \ge 0$. Racine $2$ (exclue). Toujours positif.
Le quotient a le même signe que le numérateur.
$S = \left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]1/2 ; 2\right[ \cup \left]2 ; +\infty\right[$
Numérateur : $\Delta = -23 < 0$. Toujours négatif.
Dénominateur : $\Delta = -7 < 0$. Toujours positif.
Le quotient est toujours négatif.
$S = \emptyset$
Numérateur : Racines $-3$, $3$. Négatif entre les racines.
Dénominateur : $\Delta = -7 < 0$. Toujours positif.
Le quotient a le même signe que le numérateur.
$S = \left]-3 ; 3\right[$
Exercice 5 : Position relative de deux paraboles
Soit $P_1$ la parabole d'équation $y = 2x^2 - 3x + 1$ et $P_2$ d'équation $y = x^2 + x - 2$.
Étudier la position relative de $P_1$ par rapport à $P_2$.
Corrigé :
On étudie le signe de la différence $d(x) = (2x^2 - 3x + 1) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4x + 3$.
$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$.
Racines : $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$. Le polynôme est du signe de $a = 1 > 0$ à l'extérieur des racines.
$P_1$ est au-dessus de $P_2$ sur $\left]-\infty ; 1\right[ \cup \left]3 ; +\infty\right[$ et en dessous sur $\left]1 ; 3\right[$. Elles se coupent aux abscisses 1 et 3.
Exercice 6 : Problème économique
Une entreprise produit $x$ objets par jour, avec $x \in \left[0 \,;\, 100\right]$. Son bénéfice quotidien est modélisé par $B(x) = -0{,}5x^2 + 40x - 150$.
Pour quelles quantités produites l'entreprise est-elle rentable ($B(x) > 0 $) ?
Corrigé :
On résout $-0{,}5x^2 + 40x - 150 > 0$.
$\Delta = 40^2 - 4(-0{,}5)(-150) = 1600 - 300 = 1300 > 0$.
Les racines sont $x_1 = \dfrac{-40 - \sqrt{1300}}{-1} \approx 76{,}06$ et $x_2 = \dfrac{-40 + \sqrt{1300}}{-1} \approx 3{,}94$.
Le signe de $a$ est négatif, le trinôme est positif entre les racines.
L'entreprise est rentable si elle produit entre 4 et 76 objets (valeurs entières incluses).
Exercice 7 : Problème de géométrie
Un terrain rectangulaire a pour dimensions $(x+5)$ mètres et $(2x-1)$ mètres (avec $x > 0{,}5 $).
Pour quelles valeurs de $x$ son aire est-elle strictement supérieure à $50 \mathrm{\,m}^2$ ?
Corrigé :
L'aire est $(x+5)(2x-1) = 2x^2 - x + 10x - 5 = 2x^2 + 9x - 5$.
On veut $2x^2 + 9x - 5 > 50 \iff 2x^2 + 9x - 55 > 0$.
$\Delta = 9^2 - 4(2)(-55) = 81 + 440 = 521 > 0$.
Racines : $x_1 = \dfrac{-9 - \sqrt{521}}{4} \approx -7{,}95$ et $x_2 = \dfrac{-9 + \sqrt{521}}{4} \approx 3{,}45$.
Comme $x > 0.5 $, l'inéquation est vérifiée pour les valeurs à l'extérieur des racines ($a>0$). Donc pour $x > x_2$.
$x \in \left] \dfrac{-9 + \sqrt{521}}{4} ; +\infty \right[$