RÉSOLUTION D'UNE INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
Propriété 1 : $a, b$ et $c$ sont des réels, $a \neq 0$.
- Si $\Delta > 0$ et $x_1 < x_2$ alors $ax^2 + bx + c$ $\begin{cases} \text{est du signe de } a \text{ lorsque } x \in \mathopen{]}-\infty ; x_1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}x_2 ; +\infty\mathclose{[} \\ \text{est du signe contraire de } a \text{ lorsque } x \in \mathopen{]}x_1 ; x_2\mathclose{[} \end{cases}$
- Si $\Delta = 0$ et $x \neq x_0$ alors $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$.
- Si $\Delta < 0$ alors pour tout réel $x$, $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$.
Démonstration :
- Si $\Delta > 0$ alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. On suppose que $x_1 < x_2$.
$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$ $x - x_1$ $-$ 0 $+$ $+$ $x - x_2$ $-$ $-$ 0 $+$ $(x - x_1)(x - x_2)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$ Donc l'expression $a(x - x_1)(x - x_2)$ $\begin{cases} \text{est du signe de } a \text{ lorsque } x \in \mathopen{]}-\infty ; x_1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}x_2 ; +\infty\mathclose{[} \\ \text{est du signe contraire de } a \text{ lorsque } x \in \mathopen{]}x_1 ; x_2\mathclose{[} \end{cases}$
- Si $\Delta = 0$ et $x \neq x_0$ alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ est du signe de $a$.
- Si $\Delta < 0$ alors $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{-\Delta}{4a^2} > 0$ donc $ax^2 + bx + c = a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right]$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$.
Application : Résolution d'une inéquation du second degré dans $\mathbb{R}$
Résolution de l'inéquation $-x^2 + 2x + 3 < 0$ dans $\mathbb{R}$ :
Les coefficients de ce polynôme de degré 2 sont : $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$
donc $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16$
$\Delta > 0$ donc
Si $\Delta > 0$ et $x_1 < x_2$ alors $ax^2 + bx + c$
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ | |
| $-x^2 + 2x + 3$ | $-$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ |
donc $-x^2 + 2x + 3 < 0$ lorsque $x \in \mathopen{]}-\infty ; -1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}3 ; +\infty\mathclose{[}$ donc $S = \mathopen{]}-\infty ; -1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}3 ; +\infty\mathclose{[}$.
SOLVING A QUADRATIC INEQUALITY
Property 1: $a, b$ and $c$ are real numbers, $a \neq 0$.
- If $\Delta > 0$ and $x_1 < x_2$ then $ax^2 + bx + c$ $\begin{cases} \text{has the sign of } a \text{ when } x \in \mathopen{]}-\infty ; x_1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}x_2 ; +\infty\mathclose{[} \\ \text{has the opposite sign of } a \text{ when } x \in \mathopen{]}x_1 ; x_2\mathclose{[} \end{cases}$
- If $\Delta = 0$ and $x \neq x_0$ then $ax^2 + bx + c$ has the sign of $a$.
- If $\Delta < 0$ then for all real numbers $x$, $ax^2 + bx + c$ has the sign of $a$.
Proof:
- If $\Delta > 0$ then $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. We assume $x_1 < x_2$.
$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$ $x - x_1$ $-$ 0 $+$ $+$ $x - x_2$ $-$ $-$ 0 $+$ $(x - x_1)(x - x_2)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$ Thus the expression $a(x - x_1)(x - x_2)$ $\begin{cases} \text{has the sign of } a \text{ when } x \in \mathopen{]}-\infty ; x_1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}x_2 ; +\infty\mathclose{[} \\ \text{has the opposite sign of } a \text{ when } x \in \mathopen{]}x_1 ; x_2\mathclose{[} \end{cases}$
- If $\Delta = 0$ and $x \neq x_0$ then $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ has the sign of $a$.
- If $\Delta < 0$ then $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{-\Delta}{4a^2} > 0$ thus $ax^2 + bx + c = a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right]$ has the sign of $a$ for all real numbers $x$.
Application: Solving a quadratic inequality in $\mathbb{R}$
Solving the inequality $-x^2 + 2x + 3 < 0$ in $\mathbb{R}$:
The coefficients of this quadratic polynomial are: $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$
so $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16$
$\Delta > 0$ so
If $\Delta > 0$ and $x_1 < x_2$ then $ax^2 + bx + c$
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ | |
| $-x^2 + 2x + 3$ | $-$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ |
thus $-x^2 + 2x + 3 < 0$ when $x \in \mathopen{]}-\infty ; -1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}3 ; +\infty\mathclose{[}$ thus $S = \mathopen{]}-\infty ; -1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}3 ; +\infty\mathclose{[}$.
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Propiedad 1: $a, b$ y $c$ son números reales, $a \neq 0$.
- Si $\Delta > 0$ y $x_1 < x_2$ entonces $ax^2 + bx + c$ $\begin{cases} \text{tiene el signo de } a \text{ cuando } x \in \mathopen{]}-\infty ; x_1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}x_2 ; +\infty\mathclose{[} \\ \text{tiene el signo contrario a } a \text{ cuando } x \in \mathopen{]}x_1 ; x_2\mathclose{[} \end{cases}$
- Si $\Delta = 0$ y $x \neq x_0$ entonces $ax^2 + bx + c$ tiene el signo de $a$.
- Si $\Delta < 0$ entonces para todo número real $x$, $ax^2 + bx + c$ tiene el signo de $a$.
Demostración:
- Si $\Delta > 0$ entonces $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Suponemos que $x_1 < x_2$.
$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$ $x - x_1$ $-$ 0 $+$ $+$ $x - x_2$ $-$ $-$ 0 $+$ $(x - x_1)(x - x_2)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$ Por lo tanto, la expresión $a(x - x_1)(x - x_2)$ $\begin{cases} \text{tiene el signo de } a \text{ cuando } x \in \mathopen{]}-\infty ; x_1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}x_2 ; +\infty\mathclose{[} \\ \text{tiene el signo contrario a } a \text{ cuando } x \in \mathopen{]}x_1 ; x_2\mathclose{[} \end{cases}$
- Si $\Delta = 0$ y $x \neq x_0$ entonces $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ tiene el signo de $a$.
- Si $\Delta < 0$ entonces $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{-\Delta}{4a^2} > 0$ por lo tanto $ax^2 + bx + c = a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right]$ tiene el signo de $a$ para todo número real $x$.
Aplicación: Resolución de una inecuación de segundo grado en $\mathbb{R}$
Resolución de la inecuación $-x^2 + 2x + 3 < 0$ en $\mathbb{R}$:
Los coeficientes de este polinomio de grado 2 son: $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$
entonces $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16$
$\Delta > 0$ entonces
Si $\Delta > 0$ y $x_1 < x_2$ entonces $ax^2 + bx + c$
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ | |
| $-x^2 + 2x + 3$ | $-$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ |
entonces $-x^2 + 2x + 3 < 0$ cuando $x \in \mathopen{]}-\infty ; -1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}3 ; +\infty\mathclose{[}$ por lo tanto $S = \mathopen{]}-\infty ; -1\mathclose{[} \cup \mathopen{]}3 ; +\infty\mathclose{[}$.