RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
Propriété 1 : $a, b$ et $c$ sont des réels, $a \neq 0$. On note $(E)$ l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ définie dans $\mathbb{R}$.
- Si $\Delta > 0$ alors $(E)$ a 2 solutions distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ alors $(E)$ a une solution $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ alors $(E)$ n'a pas de solution.
Démonstration :
- Si $\Delta > 0$ alors
$\displaystyle ax^2 + bx + c = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right] = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 \right]$$\displaystyle = a \left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = a \left(x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) = 0$$a \neq 0$ donc $x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 0$ ou $x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} = 0$ d'où $x = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $x = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ alors
$\displaystyle ax^2 + bx + c = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - 0 \right] = a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$$a \neq 0$ donc $x + \dfrac{b}{2a} = 0$ d'où $x = -\dfrac{b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2} > 0$ et $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \geq 0$ donc $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} > 0$
$a \neq 0$ donc l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a pas de solution.
Exemple de résolution d'une équation du second degré :
Résolution de l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ dans $\mathbb{R}$ :
Les coefficients de ce polynôme de degré 2 sont $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$
donc $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$
$\Delta > 0$ donc l'équation a 2 solutions :
Programme Python : Résolution de $ax^2+bx+c=0$
from math import *
a = float(input("Entrez a : "))
b = float(input("Entrez b : "))
c = float(input("Entrez c : "))
delta = b**2 - 4*a*c
if delta < 0:
print("Aucune solution")
elif delta == 0:
x0 = -b / (2*a)
print("Solution unique :", x0)
else:
x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2*a)
x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2*a)
print("Deux solutions :", x1, "et", x2)
Vocabulaire : Les solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont appelées les racines du polynôme $ax^2 + bx + c$.
Propriété 2 : $a, b$ et $c$ sont des réels, $a \neq 0$.
- Si $\Delta > 0$ alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Si $\Delta = 0$ alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.
L'expression $a(x - x_1)(x - x_2)$, ou l'expression $a(x - x_0)^2$, est appelée forme factorisée du polynôme $ax^2 + bx + c$.
Propriété 3 : Si le polynôme $ax^2 + bx + c$ a deux racines $x_1$ et $x_2$ alors :
Démonstration :
Par identification, $\begin{cases} b = -a(x_1 + x_2) \\ c = a x_1 x_2 \end{cases}$ donc $\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[0.3cm] x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}$
Racine évidente :
Résolution de l'équation $2x^2 - 5x + 3 = 0$ dans $\mathbb{R}$ :
On remarque que $x_1 = 1$ est une racine évidente de l'équation car $2(1)^2 - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$.
D'après la propriété précédente, le produit des racines est $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$, c'est-à-dire $1 \times x_2 = \dfrac{3}{2}$.
On en déduit que $x_2 = \dfrac{3}{2}$. L'équation a donc deux solutions distinctes.
Ainsi, $S = \left\{ 1 ; \dfrac{3}{2} \right\}$.
SOLVING A QUADRATIC EQUATION
Property 1: $a, b$, and $c$ are real numbers, $a \neq 0$. Let $(E)$ be the equation $ax^2 + bx + c = 0$ defined in $\mathbb{R}$.
- If $\Delta > 0$ then $(E)$ has 2 distinct solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ and $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- If $\Delta = 0$ then $(E)$ has one solution $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
- If $\Delta < 0$ then $(E)$ has no solution.
Proof:
- If $\Delta > 0$ then
$\displaystyle ax^2 + bx + c = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right] = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 \right]$$\displaystyle = a \left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = a \left(x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) = 0$$a \neq 0$ therefore $x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 0$ or $x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} = 0$ hence $x = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ or $x = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- If $\Delta = 0$ then
$\displaystyle ax^2 + bx + c = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - 0 \right] = a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$$a \neq 0$ therefore $x + \dfrac{b}{2a} = 0$ hence $x = -\dfrac{b}{2a}$.
- If $\Delta < 0$ then $-\dfrac{\Delta}{4a^2} > 0$ and $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \geq 0$ therefore $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} > 0$
$a \neq 0$ therefore the equation $ax^2 + bx + c = 0$ has no solution.
Example of solving a quadratic equation:
Solving the equation $x^2 - 5x + 6 = 0$ in $\mathbb{R}$:
The coefficients of this quadratic polynomial are $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$
so $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$
$\Delta > 0$ so the equation has 2 solutions:
Python Program: Solving $ax^2+bx+c=0$
from math import *
a = float(input("Enter a: "))
b = float(input("Enter b: "))
c = float(input("Enter c: "))
delta = b**2 - 4*a*c
if delta < 0:
print("No solution")
elif delta == 0:
x0 = -b / (2*a)
print("Unique solution:", x0)
else:
x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2*a)
x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2*a)
print("Two solutions:", x1, "and", x2)
Vocabulary: The solutions of the equation $ax^2 + bx + c = 0$ are called the roots of the polynomial $ax^2 + bx + c$.
Property 2: $a, b$, and $c$ are real numbers, $a \neq 0$.
- If $\Delta > 0$ then $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- If $\Delta = 0$ then $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.
The expression $a(x - x_1)(x - x_2)$, or the expression $a(x - x_0)^2$, is called the factored form of the polynomial $ax^2 + bx + c$.
Property 3: If the polynomial $ax^2 + bx + c$ has two roots $x_1$ and $x_2$ then:
Proof:
By identification, $\begin{cases} b = -a(x_1 + x_2) \\ c = a x_1 x_2 \end{cases}$ thus $\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[0.3cm] x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}$
Obvious root:
Solving the equation $2x^2 - 5x + 3 = 0$ in $\mathbb{R}$:
We notice that $x_1 = 1$ is an obvious root of the equation because $2(1)^2 - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$.
According to the previous property, the product of the roots is $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$, that is $1 \times x_2 = \dfrac{3}{2}$.
We deduce that $x_2 = \dfrac{3}{2}$. The equation therefore has two distinct solutions.
Thus, $S = \left\{ 1 ; \dfrac{3}{2} \right\}$.
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Propiedad 1: $a, b$ y $c$ son números reales, $a \neq 0$. Sea $(E)$ la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ definida en $\mathbb{R}$.
- Si $\Delta > 0$ entonces $(E)$ tiene 2 soluciones distintas $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ y $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ entonces $(E)$ tiene una solución $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ entonces $(E)$ no tiene solución.
Demostración:
- Si $\Delta > 0$ entonces
$\displaystyle ax^2 + bx + c = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right] = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 \right]$$\displaystyle = a \left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = a \left(x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) = 0$$a \neq 0$ por lo tanto $x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 0$ o $x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} = 0$ de donde $x = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ o $x = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ entonces
$\displaystyle ax^2 + bx + c = a \left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - 0 \right] = a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$$a \neq 0$ por lo tanto $x + \dfrac{b}{2a} = 0$ de donde $x = -\dfrac{b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ entonces $-\dfrac{\Delta}{4a^2} > 0$ y $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \geq 0$ por lo tanto $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} > 0$
$a \neq 0$ por lo tanto la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ no tiene solución.
Ejemplo de resolución de una ecuación de segundo grado:
Resolución de la ecuación $x^2 - 5x + 6 = 0$ en $\mathbb{R}$:
Los coeficientes de este polinomio de grado 2 son $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$
así que $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$
$\Delta > 0$ así que la ecuación tiene 2 soluciones:
Programa Python: Resolución de $ax^2+bx+c=0$
from math import *
a = float(input("Introduzca a: "))
b = float(input("Introduzca b: "))
c = float(input("Introduzca c: "))
delta = b**2 - 4*a*c
if delta < 0:
print("Sin solución")
elif delta == 0:
x0 = -b / (2*a)
print("Solución única:", x0)
else:
x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2*a)
x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2*a)
print("Dos soluciones:", x1, "y", x2)
Vocabulario: Las soluciones de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ se llaman las raíces del polinomio $ax^2 + bx + c$.
Propiedad 2: $a, b$ y $c$ son números reales, $a \neq 0$.
- Si $\Delta > 0$ entonces $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Si $\Delta = 0$ entonces $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.
La expresión $a(x - x_1)(x - x_2)$, o la expresión $a(x - x_0)^2$, se llama la forma factorizada del polinomio $ax^2 + bx + c$.
Propiedad 3: Si el polinomio $ax^2 + bx + c$ tiene dos raíces $x_1$ y $x_2$ entonces:
Demostración:
Por identificación, $\begin{cases} b = -a(x_1 + x_2) \\ c = a x_1 x_2 \end{cases}$ entonces $\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[0.3cm] x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}$
Raíz evidente:
Resolución de la ecuación $2x^2 - 5x + 3 = 0$ en $\mathbb{R}$:
Se nota que $x_1 = 1$ es una raíz evidente de la ecuación porque $2(1)^2 - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$.
Según la propiedad anterior, el producto de las raíces es $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$, es decir $1 \times x_2 = \dfrac{3}{2}$.
Se deduce que $x_2 = \dfrac{3}{2}$. La ecuación por lo tanto tiene dos soluciones distintas.
Así, $S = \left\{ 1 ; \dfrac{3}{2} \right\}$.