Variables Aléatoires
Exercice 1 : Jeu de fléchettes
Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante :
R,V,V,J,J,J,B,B,B,B,B,B,B,B,B
Les trente cases ont la même probabilité d'être atteintes : rouges (R), vertes (V), jaunes (J) ou blanches (B).
- Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.
- Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.
- Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
- Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd $a$ euros ($a > 0$).
1. On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.
- Donner la loi de probabilité de $X$.
- Calculer $a$ pour que le jeu soit équitable.
2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.
- Quelle est la probabilité $p$ qu’un joueur gagne ?
- Un joueur joue 3 parties indépendantes. Soit $B$ l'évènement : "Le joueur gagne au moins une fois". Calculer $P(B)$.
1. a) On dénombre les cases : 2 R, 4 V, 6 J et 18 B. Total = 30 cases.
| $x_i$ | $8$ | $5$ | $0$ | $-a$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\dfrac{1}{15}$ | $\dfrac{2}{15}$ | $\dfrac{1}{5}$ | $\dfrac{3}{5}$ |
b) Le jeu est équitable si $E(X) = 0$.
$E(X) = 8 \times \dfrac{2}{30} + 5 \times \dfrac{4}{30} + 0 \times \dfrac{6}{30} - a \times \dfrac{18}{30} = \dfrac{36 - 18a}{30}$.
$\dfrac{36 - 18a}{30} = 0$ donc $36 - 18a = 0$ donc $a = 2$. Le jeu est équitable pour $a = 2$ €.
2. a) Un gain strictement positif correspond aux issues $X=8$ ou $X=5$.
$p = P(X=8) + P(X=5) = \dfrac{2}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{6}{30} =$ $0,2$.
b) $B$ est l'évènement contraire de "ne gagner aucune partie".
$P(B) = 1 - P(\bar{G})^3 = 1 - \left( 1 - 0,2 \right)^3 = 1 - 0,8^3 = 1 - 0,512 =$ $0,488$.
Exercice 2 : Menu du restaurant
Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : macarons (4 €) et tarte Tatin (5 €). Chaque client choisit un plat à 8 € et un dessert. Il peut prendre en supplément un café à 2 €.
Le restaurant a 150 clients par jour. 70% choisissent les macarons. On remarque que :
- Parmi les clients "macarons", 80% prennent un café.
- Parmi les clients "tarte Tatin", 60% prennent un café.
Soit $S$ la variable aléatoire correspondant au prix payé par le client.
- Donner la loi de probabilité de $S$ (on pourra s'aider d'un arbre pondéré).
- Calculer le gain moyen journalier du restaurateur.
1. Prix possibles pour $S$ :
- $M \cap C$ : $8+4+2=14$ €. $P = 0,7 \times 0,8 = 0,56$.
- $M \cap \bar{C}$ : $8+4=12$ €. $P = 0,7 \times 0,2 = 0,14$.
- $T \cap C$ : $8+5+2=15$ €. $P = 0,3 \times 0,6 = 0,18$.
- $T \cap \bar{C}$ : $8+5=13$ €. $P = 0,3 \times 0,4 = 0,12$.
| $s_i$ | $12$ | $13$ | $14$ | $15$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(S=s_i)$ | $0,14$ | $0,12$ | $0,56$ | $0,18$ |
2. $E(S) = 12 \times 0,14 + 13 \times 0,12 + 14 \times 0,56 + 15 \times 0,18 = 13,78$ €.
Le gain moyen journalier pour 150 clients est $150 \times 13,78 =$ $2\,067$ €.
Exercice 3 : L'urne de couleurs
Une urne contient 6 boules vertes, cinq boules rouges et une boule blanche. On tire au hasard une boule de l'urne :
- Si la boule tirée est verte, on perd 3 €
- Si la boule tirée est rouge, on gagne 1 €
- Si la boule tirée est blanche, on gagne 10 €
Soit $X$ la variable aléatoire prenant les valeurs du gain algébrique (positif ou négatif) obtenu.
- Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme de tableau.
- Calculer l'espérance de $X$.
- Le jeu est-il équitable ? Pourquoi ?
1. Le nombre total de boules dans l'urne est $6 + 5 + 1 = 12$.
| $x_i$ | $-3$ | $1$ | $10$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{5}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ |
2. Calcul de l'espérance $E(X)$ :
$E(X) = -3 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times \dfrac{5}{12} + 10 \times \dfrac{1}{12} = -\dfrac{18}{12} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{10}{12} = -\dfrac{3}{12} = -\dfrac{1}{4} =$ $-0,25$.
3. Le jeu n'est pas équitable car son espérance n'est pas nulle ($E(X) \neq 0$). En moyenne, le joueur perd $0,25$ € par partie.
Exercice 4 : Tri sélectif et produits bio
Dans une ville comportant 12 000 familles, une enquête de la mairie a donné les résultats suivants :
- 8 400 familles pratiquent le tri sélectif ($T$)
- 30 % des familles pratiquent le tri sélectif et consomment des produits bio ($B$)
- 1 200 familles ne pratiquent pas le tri sélectif et consomment des produits bio
- Déterminer $P(T)$.
- Déterminer $P(B)$. On pourra s'aider d'un tableau.
- La ville donne chaque année 50 € aux familles qui pratiquent le tri sélectif et 20 € aux familles qui consomment des produits bio (les 2 primes peuvent être cumulées). Soit $S$ la somme d'argent reçue par une famille choisie au hasard.
- Donner la loi de probabilité de $S$ sous forme de tableau.
- En moyenne, quelle est la somme reçue par une famille.
- La ville souhaite augmenter la somme attribuée, en moyenne, à chaque famille pour qu'elle atteigne 50 €. Elle augmente l'aide au tri sélectif tout en conservant l'aide au bio inchangée à 20 €. Quelle est alors la nouvelle valeur de l'aide au tri ?
1. $P(T) = \dfrac{8\,400}{12\,000} =$ $0,7$.
2. Complétons un tableau des effectifs :
| $B$ | $\bar{B}$ | Total | |
|---|---|---|---|
| $T$ | $3\,600$ | $4\,800$ | $8\,400$ |
| $\bar{T}$ | $1\,200$ | $2\,400$ | $3\,600$ |
| Total | $4\,800$ | $7\,200$ | $12\,000$ |
Note : $T \cap B$ représente $30\%$ de $12\,000$, soit $3\,600$ familles. On en déduit $P(B) = \dfrac{4\,800}{12\,000} =$ $0,4$.
3. a) La somme $S$ peut prendre les valeurs $70$ € ($T \cap B$), $50$ € ($T \cap \bar{B}$), $20$ € ($\bar{T} \cap B$) ou $0$ € ($\bar{T} \cap \bar{B}$).
| $s_i$ | $70$ | $50$ | $20$ | $0$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(S=s_i)$ | $0,3$ | $0,4$ | $0,1$ | $0,2$ |
b) $E(S) = 70 \times 0,3 + 50 \times 0,4 + 20 \times 0,1 + 0 \times 0,2 = 21 + 20 + 2 =$ $43$ €.
4. Soit $x$ la nouvelle aide au tri sélectif. L'aide au bio reste de $20$ €.
$E(S) = P(T \cap B) \times \left( x + 20 \right) + P(T \cap \bar{B}) \times x + P(\bar{T} \cap B) \times 20 + P(\bar{T} \cap \bar{B}) \times 0 = 50$.
$0,3 \left( x + 20 \right) + 0,4x + 0,1 \times 20 = 50$ donc $0,3x + 6 + 0,4x + 2 = 50$ donc $0,7x + 8 = 50$ donc $0,7x = 42$ donc $x = 60$.
La nouvelle aide au tri sélectif doit être de $60$ €.
Exercice 5 : Les repas de Motus
En vue d’étudier les préférences alimentaires de son chien Motus, Clara lui propose chaque soir les deux menus suivants : des croquettes ou une soupe avec de la viande et des pâtes aux légumes.
Motus doit choisir un et un seul des deux menus. Après un nombre élevé de jours, Clara constate que Motus a préféré la soupe dans 70 % des cas et les croquettes dans 30 % des cas.
1. On considère un jour donné choisi au hasard et on appelle $C$ l’évènement : « Motus choisit les croquettes ». Déterminer $P(C)$ et $P(\bar{C})$.
2. Clara observe les choix du chien pendant trois jours consécutifs. On admet que ces choix sont indépendants.
- Construire un arbre pondéré illustrant tous les choix possibles du chien.
- Si Motus choisit les croquettes, il boit un litre d’eau après son repas ; s’il choisit la soupe, il ne boit qu’un demi-litre d’eau. On note $X$ la variable aléatoire donnant la quantité d’eau (en L) bue par le chien après ces trois repas.
- Déterminer la loi de probabilité de $X$.
- Calculer l’espérance mathématique de $X$ et interpréter le résultat obtenu.
1. $P(C) = 0,3$ et $P(\bar{C}) = 1 - 0,3 =$ $0,7$.
2. a) Arbre pondéré ($C$ pour croquettes, $\bar{C}$ pour soupe) :
b) i) La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $3$ ; $2,5$ ; $2$ et $1,5$ litres.
| $x_i$ | $3$ | $2,5$ | $2$ | $1,5$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0,027$ | $0,189$ | $0,441$ | $0,343$ |
ii) $E(X) = 3 \times 0,027 + 2,5 \times 0,189 + 2 \times 0,441 + 1,5 \times 0,343 =$ $1,95$ L.
Interprétation : Sur une période de trois jours, Motus boit en moyenne 1,95 litre d'eau après ses repas.