Exercices : Cercle et Al-Kashi

On rappelle qu'une équation cartésienne du cercle de centre \( \Omega\left( a ; b \right) \) et de rayon \( R \) est de la forme :

\[ \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 = R^2 \]

Ici, on a \( a = 3 \), \( b = -2 \) et \( R = 5 \). En remplaçant les valeurs, on obtient :

\[ \left( x - 3 \right)^2 + \left( y - \left( -2 \right) \right)^2 = 5^2 \]

\[ \left( x - 3 \right)^2 + \left( y + 2 \right)^2 = 25 \]

On peut développer cette expression pour obtenir la forme développée :

\[ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 25 \]

\[ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 25 \]

donc l'équation cartésienne est \( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \).

On utilise la méthode de la forme canonique pour regrouper les termes en \( x \) et en \( y \) :

\[ \left( x^2 - 4x \right) + \left( y^2 + 2y \right) = 4 \]

On rappelle que \( x^2 - 2ax = \left( x - a \right)^2 - a^2 \). On applique cela :

\[ \left( x - 2 \right)^2 - 2^2 + \left( y + 1 \right)^2 - 1^2 = 4 \]

\[ \left( x - 2 \right)^2 - 4 + \left( y + 1 \right)^2 - 1 = 4 \]

\[ \left( x - 2 \right)^2 + \left( y + 1 \right)^2 = 4 + 4 + 1 \]

\[ \left( x - 2 \right)^2 + \left( y + 1 \right)^2 = 9 \]

On reconnaît l'équation d'un cercle de la forme \( \left( x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2 = R^2 \).

donc l'ensemble \( \mathcal{E} \) est le cercle de centre \( \Omega\left( 2 ; -1 \right) \) et de rayon \( R = \sqrt{9} = 3 \).

On rappelle le théorème d'Al-Kashi dans le triangle \( ABC \) :

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos\left( \widehat{BAC} \right) \]

En remplaçant par les valeurs numériques données :

\[ BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos\left( 60^\circ \right) \]

\[ BC^2 = 25 + 64 - 80 \times \dfrac{1}{2} \]

\[ BC^2 = 89 - 40 \]

\[ BC^2 = 49 \]

donc la longueur du segment est \( BC = \sqrt{49} = 7 \).

On utilise le théorème d'Al-Kashi pour exprimer le côté opposé à l'angle recherché :

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos\left( \widehat{ABC} \right) \]

On isole le cosinus de l'angle :

\[ 2 \times AB \times BC \times \cos\left( \widehat{ABC} \right) = AB^2 + BC^2 - AC^2 \]

\[ \cos\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} \]

En remplaçant par les valeurs numériques :

\[ \cos\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{3^2 + 5^2 - 6^2}{2 \times 3 \times 5} \]

\[ \cos\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{9 + 25 - 36}{30} = \dfrac{-2}{30} = -\dfrac{1}{15} \]

À l'aide de la calculatrice : \( \widehat{ABC} = \arccos\left( -\dfrac{1}{15} \right) \approx 93,8^\circ \).

donc la mesure de l'angle est \( \widehat{ABC} \approx 94^\circ \).

On rappelle qu'un point \( M\left( x ; y \right) \) appartient au cercle de diamètre \( [AB] \) si et seulement si \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \).

Calculons les coordonnées des vecteurs :

\[ \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x - (-1) \\[10pt] y - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 1 \\[10pt] y - 2 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x - 5 \\[10pt] y - 4 \end{pmatrix} \]

On calcule le produit scalaire analytique \( xx' + yy' = 0 \) :

\[ \left( x + 1 \right)\left( x - 5 \right) + \left( y - 2 \right)\left( y - 4 \right) = 0 \]

On développe l'expression :

\[ x^2 - 5x + x - 5 + y^2 - 4y - 2y + 8 = 0 \]

\[ x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0 \]

donc l'équation du cercle est \( x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0 \).