Exercices : Équations de Droites

On rappelle qu'une droite de vecteur normal \( \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\[10pt] b \end{pmatrix} \) admet une équation de la forme \( ax + by + c = 0 \).

Le vecteur normal étant \( \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \\[10pt] 2 \end{pmatrix} \), l'équation de la droite \( d \) est de la forme \( 3x + 2y + c = 0 \).

Puisque le point \( A\left( 2 ; -1 \right) \) appartient à \( d \), ses coordonnées vérifient l'équation :

\( 3 \times 2 + 2 \times \left( -1 \right) + c = 0 \)

\( 6 - 2 + c = 0 \)

\( 4 + c = 0 \)

On en déduit que \( c = -4 \).

Une équation cartésienne de la droite \( d \) est donc \( 3x + 2y - 4 = 0 \).

On calcule d'abord les coordonnées du vecteur directeur \( \overrightarrow{AB} \) :

\( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\[10pt] y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\[10pt] 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\[10pt] -2 \end{pmatrix} \).

On rappelle que si \( \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \alpha \\[10pt] \beta \end{pmatrix} \) est un vecteur directeur, alors \( \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -\beta \\[10pt] \alpha \end{pmatrix} \) est un vecteur normal.

Ici, un vecteur normal à la droite \( (AB) \) est donc \( \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \\[10pt] 4 \end{pmatrix} \).

L'équation est de la forme \( 2x + 4y + c = 0 \). En utilisant le point \( A\left( 1 ; 4 \right) \) :

\( 2 \times 1 + 4 \times 4 + c = 0 \implies 18 + c = 0 \implies c = -18 \).

L'équation est \( 2x + 4y - 18 = 0 \), ce qui se simplifie par \( 2 \) :

donc \( x + 2y - 9 = 0 \).

1) On rappelle que pour une droite d'équation \( ax + by + c = 0 \), un vecteur normal est \( \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\[10pt] b \end{pmatrix} \).

Pour la droite \( d \), on a \( a = 2 \) et \( b = -5 \), donc \( \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \\[10pt] -5 \end{pmatrix} \).

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2) Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Un vecteur normal à \( d' \) est \( \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 5 \\[10pt] 2 \end{pmatrix} \).

On calcule le produit scalaire \( \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'} = 2 \times 5 + \left( -5 \right) \times 2 = 10 - 10 = 0 \).

Le produit scalaire est nul, les vecteurs normaux sont orthogonaux,

donc les droites \( d \) et \( d' \) sont perpendiculaires.

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Le point d'intersection \( I\left( x ; y \right) \) est solution du système formé par les deux équations :

\( \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{array} \right. \)

Par addition membre à membre : \( (x+y) + (2x-y) = 3 + 0 \implies 3x = 3 \implies x = 1 \).

En remplaçant \( x \) par \( 1 \) dans \( d_2 \) : \( 2 \times 1 - y = 0 \implies y = 2 \).

Le point d'intersection est donc \( I\left( 1 ; 2 \right) \).

On rappelle qu'un vecteur normal à \( D \), noté \( \overrightarrow{n_D} \), est un vecteur directeur pour toute droite perpendiculaire à \( D \).

Ici, \( \overrightarrow{n_D}\begin{pmatrix} 4 \\[10pt] -1 \end{pmatrix} \) est un vecteur normal à \( D \).

Puisque \( \Delta \perp D \), le vecteur \( \overrightarrow{n_D} \) est un vecteur directeur de \( \Delta \).

Un vecteur normal à \( \Delta \) est donc \( \overrightarrow{n_\Delta}\begin{pmatrix} 1 \\[10pt] 4 \end{pmatrix} \).

L'équation de \( \Delta \) est de la forme \( x + 4y + c = 0 \). En utilisant \( A\left( 3 ; 2 \right) \) :

\( 3 + 4 \times 2 + c = 0 \implies 11 + c = 0 \implies c = -11 \).

L'équation cartésienne de la droite \( \Delta \) est donc \( x + 4y - 11 = 0 \).