Exercices Corrigés : Produit Scalaire et Longueurs

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit les points \( E\left( -1 ; 3 \right) \), \( F\left( \dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2} \right) \) et \( G\left( 1 ; 0 \right) \text{.} \)

Calculer \( \overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{GF} \text{.} \)
Calculer les longueurs \( GE \) et \( GF \text{.} \)
En déduire la mesure exacte de l'angle \( \widehat{EGF} \) en radians.

Corrigé de l'Exercice 1

1) On rappelle l'expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé : \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy' \text{.} \)

Calculons les coordonnées des vecteurs :

\( \overrightarrow{GE} \begin{pmatrix} x_E - x_G \\[10pt] y_E - y_G \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 1 \\[10pt] 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\[10pt] 3 \end{pmatrix} \)

\( \overrightarrow{GF} \begin{pmatrix} x_F - x_G \\[10pt] y_F - y_G \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} - 1 \\[10pt] \dfrac{5}{2} - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\[10pt] \dfrac{5}{2} \end{pmatrix} \)

\( \overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{GF} = -2 \times \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{5}{2} = -1 + \dfrac{15}{2} = -\dfrac{2}{2} + \dfrac{15}{2} = \dfrac{13}{2} \text{.} \) donc \( \overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{GF} = 6{,}5 \text{.} \)

2) On rappelle la formule de la norme d'un vecteur : \( \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \text{.} \)

\( GE = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \text{.} \)

\( GF = \sqrt{\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{5}{2} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{25}{4}} = \sqrt{\dfrac{26}{4}} = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \text{.} \)

donc \( GE = \sqrt{13} \) et \( GF = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \text{.} \)

3) On rappelle la définition géométrique du produit scalaire : \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos\left( \theta \right) \text{.} \)

\( \cos\left( \widehat{EGF} \right) = \dfrac{\overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{GF}}{GE \times GF} = \dfrac{\dfrac{13}{2}}{\sqrt{13} \times \dfrac{\sqrt{26}}{2}} = \dfrac{13}{\sqrt{13} \times \sqrt{13} \times \sqrt{2}} = \dfrac{13}{13\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{.} \)

donc \( \widehat{EGF} = \dfrac{\pi}{4} \text{ rad.} \)

Exercice 2

\( ABCD \) est un carré de côté \( a \text{.} \) \( I \) est le milieu de \( [AD] \) et \( J \) le milieu de \( [DC] \text{.} \)

Montrer que \( BI = BJ = a\dfrac{\sqrt{5}}{2} \text{.} \) En déduire \( \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ} \) en fonction de \( a \) et de \( \cos\left( \widehat{IBJ} \right) \text{.} \).
En décomposant les vecteurs \( \overrightarrow{BI} \) et \( \overrightarrow{BJ} \text{,} \) montrer que \( \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ} = a^2 \text{.} \).
En déduire une valeur approchée de l'angle \( \widehat{IBJ} \) au degré près.

Corrigé de l'Exercice 2

1) Dans le triangle \( ABI \) rectangle en \( A \text{,} \) on a \( BI^2 = AB^2 + AI^2 \text{.} \)

\( BI^2 = a^2 + \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 = \dfrac{5a^2}{4} \text{.} \) donc \( BI = a\dfrac{\sqrt{5}}{2} \text{.} \) Par symétrie, \( BJ = a\dfrac{\sqrt{5}}{2} \text{.} \)

\( \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ} = BI \times BJ \times \cos\left( \widehat{IBJ} \right) = \dfrac{5}{4}a^2 \cos\left( \widehat{IBJ} \right) \text{.} \)

2) Par la relation de Chasles : \( \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI} \) et \( \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CJ} \text{.} \)

\( \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CJ} + \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{CJ} \text{.} \)

Les termes \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} \) et \( \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{CJ} \) sont nuls (orthogonalité). Il reste :

\( \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ} = a \times \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2} \times a = a^2 \text{.} \) donc \( \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BJ} = a^2 \text{.} \)

3) On identifie : \( \dfrac{5}{4}a^2 \cos\left( \widehat{IBJ} \right) = a^2 \implies \cos\left( \widehat{IBJ} \right) = 0{,}8 \text{.} \)

donc \( \widehat{IBJ} \approx 37^\circ \text{.} \)

Exercice 3

\( ABCD \) est un carré. \( M \) est un point quelconque du segment \( [BC] \text{.} \) Le triangle \( BMN \) est isocèle rectangle en \( B \text{.} \)

Calculer \( \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{NC} \) en décomposant les deux vecteurs.
Que peut-on en déduire pour les droites \( (AM) \) et \( (NC) \) ?

Exercice 4

Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(-2 ; 1) \), \( B(3 ; 2) \) et \( C(1 ; 5) \text{.} \)

Calculer les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \text{.} \).
Calculer le produit scalaire \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \text{.} \).
Calculer les longueurs \( AB \) et \( AC \text{.} \).
En déduire une valeur approchée de l'angle \( \widehat{BAC} \) à \( 0{,}1^\circ \) près.

Exercice 5

Soit \( ABC \) un triangle tel que \( AB=4 \), \( AC=7 \) et \( \widehat{BAC}=60^\circ \text{.} \)

Calculer le produit scalaire \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \text{.} \).
Calculer la longueur \( BC \text{.} \).
Déterminer la valeur du produit scalaire \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} \text{.} \).
En déduire une valeur approchée de l'angle \( \widehat{ABC} \) au degré près.

Produit Scalaire et Longueurs

Exercice 1

Corrigé de l'Exercice 1

Exercice 2

Corrigé de l'Exercice 2

Exercice 3

Corrigé de l'Exercice 3

Exercice 4

Corrigé de l'Exercice 4

Exercice 5

Corrigé de l'Exercice 5

Exercice 1

Corrigé de l'Exercice 1

Exercice 2

Corrigé de l'Exercice 2

Exercice 3

Corrigé de l'Exercice 3

Exercice 4

Corrigé de l'Exercice 4

Exercice 5

Corrigé de l'Exercice 5

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