Calcul Vectoriel

1) \( \vec{u} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} \text{.} \)

donc \( \vec{u} = \vec{0} \text{.} \)

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2) \( \vec{v} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BB} \text{.} \)

donc \( \vec{v} = \vec{0} \text{.} \)

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3) \( \vec{w} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \text{.} \)

Comme \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0} \), on a \( \vec{w} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} \text{ (en décomposant encore).} \)

donc \( \vec{w} = \overrightarrow{CB} \text{.} \)

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4) \( \vec{x} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CC} + \overrightarrow{AB} \text{.} \)

donc \( \vec{x} = \overrightarrow{AB} \text{.} \)

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5) \( \vec{y} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM}) = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MM} \text{.} \)

donc \( \vec{y} = \vec{0} \text{.} \)

1) \( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\[10pt] y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - (-3) \\[10pt] -4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\[10pt] -6 \end{pmatrix} \text{.} \)

donc \( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 8 \\[10pt] -6 \end{pmatrix} \text{.} \)

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2) \( x_M = \dfrac{x_B + x_C}{2} = \dfrac{5 + 1}{2} = 3 \) et \( y_M = \dfrac{y_B + y_C}{2} = \dfrac{-4 + 6}{2} = 1 \text{.} \)

donc \( M(3 ; 1) \text{.} \)

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3) \( ABCD \) parallélogramme \( \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \text{.} \) Soit \( D(x_D ; y_D) \text{.} \)

\( \begin{pmatrix} 8 \\[10pt] -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - x_D \\[10pt] 6 - y_D \end{pmatrix} \implies x_D = -7 \) et \( y_D = 12 \text{.} \)

donc \( D(-7 ; 12) \text{.} \)

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4) \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{.} \)

donc \( AB = 10 \text{.} \)

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5) \( x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} = \dfrac{-3 + 5 + 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \) et \( y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} = \dfrac{2 - 4 + 6}{3} = \dfrac{4}{3} \text{.} \)

donc \( G\left( 1 ; \dfrac{4}{3} \right) \text{.} \)

1) \( det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 3 - (-2) \times (-4{,}5) = 9 - 9 = 0 \text{.} \) Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.

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2) \( 3k = -4{,}5 \implies k = \dfrac{-4{,}5}{3} = -1{,}5 \text{.} \)

donc \( k = -\dfrac{3}{2} \text{.} \)

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3) \( det(\vec{u}, \vec{w}) = 3 \times 4 - (-2) \times x = 12 + 2x = 0 \implies x = -6 \text{.} \)

donc \( x = -6 \text{.} \)

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4) \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{u} - 1{,}5\vec{u} = -0{,}5\vec{u} \text{.} \) C'est un multiple de \( \vec{u} \text{,} \) donc ils sont colinéaires.

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5) \( \vec{z} \begin{pmatrix} 2(3) - 3(-4{,}5) \\[10pt] 2(-2) - 3(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 13{,}5 \\[10pt] -4 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19{,}5 \\[10pt] -13 \end{pmatrix} \text{.} \)

donc \( \vec{z} \begin{pmatrix} 19{,}5 \\[10pt] -13 \end{pmatrix} \text{.} \)

1) \( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\[5pt] 2 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 9 \\[5pt] 6 \end{pmatrix} \text{.} \)

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2) \( det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 3 \times 6 - 2 \times 9 = 0 \text{.} \) donc les points sont alignés.

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3) \( \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} 6 \\[5pt] y_D - 2 \end{pmatrix} \) colinéaire à \( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\[5pt] 2 \end{pmatrix} \implies 3(y_D - 2) - 2 \times 6 = 0 \implies 3y_D - 6 - 12 = 0 \implies 3y_D = 18 \text{.} \)

donc \( y_D = 6 \text{.} \)

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4) \( x_M = \dfrac{-1 + 8}{2} = 3{,}5 \neq 2 \text{.} \) donc \( B \) n'est pas le milieu de \( [AC] \text{.} \)

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5) \( AC = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13} \text{.} \)

donc \( AC = 3\sqrt{13} \text{.} \)

1) Dans un parallélogramme \( ABCD \), on a \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \text{.} \)

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2) \( \overrightarrow{AJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} = \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \text{.} \) donc \( \overrightarrow{AJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} \text{.} \)

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3) \( \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} \text{.} \)

donc \( \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} \text{.} \)

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4) \( \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AD} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \text{.} \)

donc \( \overrightarrow{ID} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \text{.} \)

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5) On remarque que \( 4\vec{IJ} = \dfrac{4}{6}\overrightarrow{AB} + \dfrac{8}{3}\overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{ID} \text{.} \)

En réalité, \( \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{ID} \) ne sont pas proportionnels (les coefficients ne sont pas dans le même rapport \( \dfrac{1/6}{-1/2} = -\dfrac{1}{3} \) et \( \dfrac{2/3}{1} = \dfrac{2}{3} \)).

donc les points \( I, J, D \) ne sont pas alignés.