Exercice 1 : Dérivée et Sommet
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x^2 - 12x + 7\).
- Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).
- Déterminer l'expression de la fonction dérivée \(f'(x)\).
- Calculer la valeur \(\alpha\) qui annule \(f'(x)\) et en déduire les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole.
1. Coefficients : On a \(a = 3\), \(b = -12\) et \(c = 7\).
2. Dérivée : D'après la formule du cours, \(f'(x) = 2ax + b\).
donc \(f'(x) = 2 \times 3x - 12 = \) \( 6x - 12 \).
3. Sommet : \(f'(x) = 0\) donc \(6x - 12 = 0\), donc \(6x = 12\), donc \(\alpha = 2\).
Calculons \(\beta = f(\alpha)\) :
\(\beta = f(2) = 3 \times 2^2 - 12 \times 2 + 7 = 3 \times 4 - 24 + 7 = 12 - 24 + 7 = -5\).
Les coordonnées du sommet sont donc \(S\left( 2 ; -5 \right)\).
Exercice 2 : Variations (cas \(a > 0\))
Étudier les variations de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 2x^2 + 8x - 1\) et dresser son tableau de variations.
La fonction \(g\) est un polynôme du second degré avec \(a = 2\).
Calculons la dérivée : \(g'(x) = 2 \times 2x + 8 = 4x + 8\).
Cherchons la racine de la dérivée : \(4x + 8 = 0\) donc \(4x = -8\), donc \(x = -2\).
Comme \(a = 2 > 0\), la fonction est strictement décroissante puis strictement croissante.
Le minimum est \(\beta = g(-2) = 2 \times \left( -2 \right)^2 + 8 \times \left( -2 \right) - 1 = 2 \times 4 - 16 - 1 = 8 - 16 - 1 = -9\).
Exercice 3 : Variations (cas \(a < 0\))
Dresser le tableau de variations de la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = -x^2 + 6x + 5\).
On a \(a = -1\).
Calculons la dérivée : \(h'(x) = -2x + 6\).
\(h'(x) = 0\) donc \(-2x = -6\), donc \(x = 3\).
Comme \(a = -1 < 0\), la fonction est strictement croissante puis strictement décroissante.
Le maximum est \(\beta = h(3) = -3^2 + 6 \times 3 + 5 = -9 + 18 + 5 = 14\).
Exercice 4 : Propriétés de la Parabole
Soit \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{5}{2}\).
- Déterminer l'équation de l'axe de symétrie de la parabole représentative de \(f\).
- La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.
- Déterminer l'ordonnée à l'origine de la fonction.
1. Axe de symétrie : L'axe de symétrie a pour équation \(x = \alpha\).
Ici \(\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-1}{2 \times \dfrac{1}{2}} = -\dfrac{-1}{1} = 1\).
L'axe de symétrie est donc la droite d'équation \(x = 1\).
2. Orientation : Le coefficient \(a = \dfrac{1}{2}\) est strictement positif.
La parabole est donc tournée vers le haut.
3. Ordonnée à l'origine : C'est la valeur \(c\). On a \(c = \dfrac{5}{2}\) (soit \(2,5\)).
Exercice 5 : Recherche de coefficients
On considère une fonction polynôme du second degré \(f\) définie par \(f(x) = ax^2 + bx + c\).
On sait que le sommet de sa parabole est \(S\left( 1 ; 4 \right)\) et que \(f(0) = 2\).
Déterminer les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).
On sait que \(f(0) = 2\), donc \(a \times 0^2 + b \times 0 + c = 2\), donc \(c = 2\).
Le sommet est \(S\left( 1 ; 4 \right)\), donc \(\alpha = 1\). On utilise la formule \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) :
donc \(-\dfrac{b}{2a} = 1\), donc \(-b = 2a\), donc \(b = -2a\).
L'ordonnée du sommet est \(\beta = 4\), donc \(f(1) = 4\) :
donc \(a \times 1^2 + b \times 1 + c = 4\)
donc \(a + b + 2 = 4\)
donc \(a + b = 2\).
En remplaçant \(b\) par \(-2a\) :
donc \(a - 2a = 2\)
donc \(-a = 2\)
donc \(a = -2\).
On en déduit \(b = -2 \times \left( -2 \right) = 4\).
L'expression de la fonction est \(f(x) = -2x^2 + 4x + 2\).