Exercice 1 : Calculs algébriques
Soit \(f\) la fonction cube définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3\).
- Calculer les images de \(\dfrac{1}{2}\) et de \(-\dfrac{3}{4}\).
- Déterminer l'antécédent de \(27\) et de \(-125\).
- Calculer l'image de \(\sqrt{3}\).
1. Images :
\(f\left( \dfrac{1}{2} \right) = \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 = \dfrac{1^3}{2^3} = \) \( \dfrac{1}{8} \).
\(f\left( -\dfrac{3}{4} \right) = \left( -\dfrac{3}{4} \right)^3 = \dfrac{(-3)^3}{4^3} = \) \( -\dfrac{27}{64} \).
2. Antécédents :
Chercher l'antécédent de \(27\) revient à résoudre \(x^3 = 27\). Comme \(3^3 = 27\), l'antécédent est \( 3 \).
Chercher l'antécédent de \(-125\) revient à résoudre \(x^3 = -125\). Comme \((-5)^3 = -125\), l'antécédent est \( -5 \).
3. Image de \(\sqrt{3}\) :
\(f(\sqrt{3}) = \left( \sqrt{3} \right)^3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \times \sqrt{3} = \) \( 3\sqrt{3} \).
Exercice 2 : Dérivation et variations
Soit \(f(x) = x^3\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Donner l'expression de la dérivée \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
- En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) et dresser son tableau de variations.
1. Dérivée : D'après le cours, la fonction cube est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \( f'(x) = 3x^2 \).
2. Signe : Un carré est toujours positif ou nul. Ainsi, pour tout réel \(x\), \(x^2 \ge 0\), donc \( 3x^2 \ge 0 \). La dérivée ne s'annule qu'en \(x = 0\).
3. Variations : Comme la dérivée est positive sur \(\mathbb{R}\), la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 3 : Parité et géométrie
Démontrer que la fonction cube est une fonction impaire sur \(\mathbb{R}\). Quelle propriété géométrique possède sa courbe représentative ?
Pour tout réel \(x\), l'opposé \(-x\) appartient également à \(\mathbb{R}\).
Calculons \(f(-x)\) :
\(f(-x) = (-x)^3 = (-1 \times x)^3 = (-1)^3 \times x^3 = -1 \times x^3 = -x^3\).
On a donc \(f(-x) = -f(x)\), ce qui prouve que la fonction cube est impaire.
Graphiquement, cela signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine \(O\) du repère.
Exercice 4 : Comparaison et ordre
Comparer les nombres suivants sans utiliser de calculatrice, en justifiant par les variations de la fonction cube :
- \((-2,5)^3\) et \((-2,4)^3\).
- \(\left( \dfrac{5}{3} \right)^3\) et \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^3\).
1. Comparaison de \((-2,5)^3\) et \((-2,4)^3\) :
On sait que \(-2,5 < -2,4\). Comme la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve l'ordre des images :
donc \( (-2,5)^3 < (-2,4)^3 \).
2. Comparaison de \(\left( \dfrac{5}{3} \right)^3\) et \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^3\) :
Mettons les fractions au même dénominateur pour les comparer :
\(\dfrac{5}{3} = \dfrac{20}{12}\) et \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{21}{12}\).
On a \(\dfrac{20}{12} < \dfrac{21}{12}\), donc \(\dfrac{5}{3} < \dfrac{7}{4}\).
La fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) :
donc \( \left( \dfrac{5}{3} \right)^3 < \left( \dfrac{7}{4} \right)^3 \).
Exercice 5 : Équations
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(x^3 = 64\)
- \(x^3 = -1\)
- \(2x^3 + 16 = 0\)
1. Résolution de \(x^3 = 64\) :
On cherche le nombre dont le cube est \(64\). On sait que \(4 \times 4 \times 4 = 64\).
L'ensemble des solutions est \( S = \{ 4 \} \).
2. Résolution de \(x^3 = -1\) :
On cherche le nombre dont le cube est \(-1\). On sait que \((-1) \times (-1) \times (-1) = -1\).
L'ensemble des solutions est \( S = \{ -1 \} \).
3. Résolution de \(2x^3 + 16 = 0\) :
donc \(2x^3 = -16\)
donc \(x^3 = \dfrac{-16}{2}\)
donc \(x^3 = -8\).
On cherche le nombre dont le cube est \(-8\). Comme \((-2)^3 = -8\) :
L'ensemble des solutions est \( S = \{ -2 \} \).