Exercice 1 : Calculs d'images et antécédents
Soit \(f\) la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x}\).
- Calculer les images de \(5\), \(-2\) et \(\dfrac{4}{7}\).
- Déterminer l'antécédent de \(10\) et de \(-\dfrac{1}{3}\).
- Expliquer pourquoi \(0\) n'admet pas d'image par \(f\).
1. Images :
\(f(5) = \) \( \dfrac{1}{5} \).
\(f(-2) = \) \( -\dfrac{1}{2} \).
\(f\left( \dfrac{4}{7} \right) = \dfrac{1}{\dfrac{4}{7}} = 1 \times \dfrac{7}{4} = \) \( \dfrac{7}{4} \).
2. Antécédents :
Chercher l'antécédent de \(10\) revient à résoudre \(\dfrac{1}{x} = 10\), donc \(x = \) \( \dfrac{1}{10} \).
Chercher l'antécédent de \(-\dfrac{1}{3}\) revient à résoudre \(\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{3}\), donc \(x = \) \( -3 \).
3. Cas de \(0\) :
La division par zéro est impossible en mathématiques. Par conséquent, la fraction \(\dfrac{1}{0}\) n'est pas définie, ce qui signifie que \(0\) n'a pas d'image.
Exercice 2 : Dérivation et variations
Soit \(f\) la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}^*\).
- Donner l'expression de la dérivée \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) sur son ensemble de définition.
- Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
1. Dérivée : D'après le cours, pour tout \(x \ne 0\), \( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \).
2. Signe : Pour tout réel \(x \ne 0\), le carré \(x^2\) est strictement positif. Ainsi, son inverse \(\dfrac{1}{x^2}\) est positif, et son opposé \( -\dfrac{1}{x^2} \) est strictement négatif sur \( ]-\infty ; 0[ \) et sur \( ]0 ; +\infty[ \).
3. Tableau de variations :
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.
Exercice 3 : Parité et symétrie
Démontrer que la fonction inverse est une fonction impaire sur \(\mathbb{R}^*\). Quelle est la conséquence pour sa courbe représentative (l'hyperbole) ?
L'ensemble de définition \(\mathbb{R}^*\) est centré en \(0\). Pour tout réel \(x \ne 0\), l'opposé \(-x\) appartient aussi à \(\mathbb{R}^*\).
Calculons \(f(-x)\) :
\(f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -f(x)\).
On a \(f(-x) = -f(x)\), donc la fonction \(f\) est impaire.
Graphiquement, cela signifie que l'hyperbole est symétrique par rapport à l'origine \(O\) du repère.
Exercice 4 : Comparaison et encadrement
Comparer les nombres suivants sans utiliser de calculatrice, en justifiant par les variations de la fonction inverse :
- \(\dfrac{1}{3,14}\) et \(\dfrac{1}{\pi}\).
- \(\dfrac{1}{-5}\) et \(\dfrac{1}{-2}\).
Déterminer ensuite l'encadrement de \(\dfrac{1}{x}\) sachant que \(2 \le x \le 5\).
1. Comparaison sur \( ]0 ; +\infty [ \) :
On sait que \(3,14 < \pi\). Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur \( ]0 ; +\infty [ \), elle inverse l'ordre des images :
donc \( \dfrac{1}{3,14} > \dfrac{1}{\pi} \).
2. Comparaison sur \( ]-\infty ; 0 [ \) :
On sait que \(-5 < -2\). Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur \( ]-\infty ; 0 [ \), elle inverse l'ordre des images :
donc \( \dfrac{1}{-5} > \dfrac{1}{-2} \).
3. Encadrement :
On a \(2 \le x \le 5\). Les valeurs sont dans l'intervalle \( [2 ; 5] \subset ]0 ; +\infty [ \).
La fonction inverse est strictement décroissante sur cet intervalle, donc :
\(\dfrac{1}{5} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{2}\).
L'encadrement est donc \( 0,2 \le \dfrac{1}{x} \le 0,5 \).
Exercice 5 : Inéquations
Résoudre dans \(\mathbb{R}^*\) l'inéquation suivante : \(\dfrac{1}{x} \le 4\).
Détaillons la résolution algébrique :
On cherche à résoudre \(\dfrac{1}{x} \le 4\).
Mettons tout du même côté :
donc \(\dfrac{1}{x} - 4 \le 0\).
Réduisons au même dénominateur :
donc \(\dfrac{1 - 4x}{x} \le 0\).
Étudions le signe du quotient \(\dfrac{1 - 4x}{x}\) :
Le numérateur \(1 - 4x = 0 \iff x = \dfrac{1}{4}\). Il est positif pour \(x < \dfrac{1}{4}\) (car \(a = -4 < 0\)).
Le dénominateur \(x = 0\) est la valeur interdite.
D'après le tableau de signes (ou le raisonnement par cas) :
Le quotient est négatif ou nul quand le numérateur et le dénominateur sont de signes contraires.
- Si \(x < 0\), alors \(1 - 4x > 0\), donc le quotient est négatif.
- Si \(0 < x < \dfrac{1}{4}\), alors \(1 - 4x > 0\), donc le quotient est positif.
- Si \(x \ge \dfrac{1}{4}\), alors \(1 - 4x \le 0\), donc le quotient est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est donc \( S = ]-\infty ; 0[ \cup \left[ \dfrac{1}{4} ; +\infty \right[ \).