Exercice 1 : Identification et dérivation
Pour chacune des fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\), identifier les coefficients \(a\) et \(b\), puis donner l'expression de la fonction dérivée.
- \(f(x) = 7x - 3\)
- \(g(x) = -x + \dfrac{4}{5}\)
- \(h(x) = \dfrac{2x - 9}{3}\)
1. Pour \(f(x) = 7x - 3\), on a \(a = 7\) et \(b = -3\). La dérivée est \(f'(x) = 7\).
2. Pour \(g(x) = -x + \dfrac{4}{5}\), on a \(a = -1\) et \(b = \dfrac{4}{5}\). La dérivée est \(g'(x) = -1\).
3. On peut réécrire \(h(x) = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{9}{3} = \dfrac{2}{3}x - 3\). On a donc \(a = \dfrac{2}{3}\) et \(b = -3\). La dérivée est \(h'(x) = \dfrac{2}{3}\).
Exercice 2 : Sens de variation
Étudier le sens de variation des fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\) et dresser leur tableau de variations.
- \(f(x) = -4x + 11\)
- \(g(x) = \dfrac{5}{2}x - 1\)
1. Étude de \(f\) : La fonction \(f\) est affine avec \(a = -4\). Comme \(a < 0\), la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
2. Étude de \(g\) : La fonction \(g\) est affine avec \(a = \dfrac{5}{2}\). Comme \(a > 0\), la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 3 : Étude de signe
Déterminer le tableau de signes des fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\) :
- \(f(x) = 3x - 12\)
- \(g(x) = -5x + 15\)
1. Signe de \(f(x) = 3x - 12\) :
On cherche la racine : \(3x - 12 = 0 \iff 3x = 12 \iff x = 4\).
Le coefficient \(a = 3\) est positif, donc la fonction est négative puis positive.
2. Signe de \(g(x) = -5x + 15\) :
On cherche la racine : \(-5x + 15 = 0 \iff -5x = -15 \iff x = 3\).
Le coefficient \(a = -5\) est négatif, donc la fonction est positive puis négative.
Exercice 4 : Détermination d'expression
Déterminer l'expression de la fonction affine \(f\) dont la représentation graphique est la droite passant par les points \(A\left( 1 ; 2 \right)\) et \(B\left( 3 ; 8 \right)\).
On cherche \(f(x) = ax + b\).
Calcul du coefficient directeur \(a\) :
\(a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
On a donc \(f(x) = 3x + b\). Comme \(A\left( 1 ; 2 \right) \in \mathcal{C}_f\), on a :
\(f(1) = 2 \implies 3 \times 1 + b = 2 \implies 3 + b = 2 \implies b = 2 - 3 = -1\).
L'expression de la fonction est donc \(f(x) = 3x - 1\).
Exercice 5 : Synthèse
Soit \(f\) une fonction affine telle que \(f(0) = 5\) et \(f(2) = 1\).
- Déterminer l'expression de \(f(x)\).
- En déduire le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
- Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).
1. Expression de \(f(x)\) :
On sait que \(f(0) = 5\), donc l'ordonnée à l'origine est \(b = 5\).
Calcul de \(a\) : \(a = \dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{1 - 5}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2\).
On obtient \(f(x) = -2x + 5\).
2. Variations :
Le coefficient \(a = -2\) est strictement négatif, donc la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
3. Signe :
\(-2x + 5 = 0 \iff -2x = -5 \iff x = \dfrac{5}{2}\).
Comme \(a < 0\), la fonction est positive avant la racine et négative après.